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广义估计方程在纵向资料中的应用 主要内容 一、广义线性模型简介 1）一般线性模型 2）广义线性模型 二、广义估计方程 1）纵向资料 2）广义估计方程 3）应用举例 一、广义线性模型简介 1）一般线性模型 一般线性模型(general linear model)，简称线性模型(linear model)，是数理统计学中发展较早、理论丰富而且应用性很强的一个重要分支。 方差分析 一般线性模型 多元回归模型等 一般线性模型 应用： 用于研究某个指标(应变量，记为Yi)与一组指标(Xi1， Xi2，… ，Xij)之间的线性关系。 表达式： yi=β0+ β1Xi1+ β2Xi2+ … βjXij+ei 一般线性模型 一般线性模型对于残差分布的三个重要假设： (1)独立 (2)符合正态分布，且均数为0 (3)方差齐性，即ei的方差相等 一般线性模型 局限性： 线性模型只能拟合应变量服从正态分布的资料，如果应变量是分类变量，或不服从正态分布的变量，线性模型则不能适用。 广义线性模型 2）广义线性模型 概念： 很多非线性模型，如指数模型、Logistic回归模型，如对应变量作一定的变量变换可满足或近似满足线性模型分析的要求，能够借助线性模型的分析思路解决模型构造、参数估计和模型评价等一系列问题。这就是广义线性模型(generalized linear model) 广义线性模型 模型构造： (1)应变量，相互独立，服从指数分布族，方差能够表达为均数的函数。应变量的期望值记为：E(Yi)=μi。 (2)线性部分，即自变量的线性组合，β为待求的参数向量。 ηi=β0+ β1Xi1+ β2Xi2+ … βjXij=X’i β 广义线性模型 (3)联接函数(link function)，将应变量的期望值和线性预测值ηi关联起来。 g(μi )= ηi=β0+ β1Xi1+ β2Xi2+ … βjXij g(. )是联接函数，联接函数的作用就是对应变量作变换使之符合正态分布，变量变换的类型依应变量的分布不同而不同。通过指定应变量的分布和联接函数，就可以拟合各种不同的模型。 广义线性模型 表1 常见的概率分布和联接函数 分布 联接函数 数学表达式 模型 正态分布 恒等函数 η=μ 多元线性回归模型 二项分布 Logit函数 Logistic回归模型 二项分布 Probit函数 η=Φ-1(π) Probit回归模型 Possion分布 对数 η=log(λ) Possion回归模型 广义线性模型 优点： 广义线性模型不仅可以用于拟合应变量服从正态分布的模型，还可以拟合应变量服从二项分布、Poisson分布、负二项分布等指数分布族的模型，通过指定不同的联接函数，把指数分布族的众多模型统一到一个模型框架中，具有极大的灵活性，其应用也日趋广泛。 纵向数据 概念： 纵向数据(longitudinal data)是按照时间顺序对个体进行重复测量得到的资料。 比如儿童的生长监测资料，出生后每月测量其体重(Y变量)以及影响体重的因素(X变量，如性别、喂养、疾病等)，这样每个儿童的多次测量值称为纵向数据的一个串(cluster)，是由一组Y变量(各次测定的体重)和一组相对应的X变量组成。 纵向数据 纵向数据特点 ： 同一对象的多次观测之间呈相关倾向 因而，纵向数据与一般的多元应变量的资料不同，因为它的反应变量之间高度相关。也有别于时间序列数据，纵向数据是由每个个体的重复测量数据，按时间顺序组成较短的序列