数学模型讲课.pptVIP

前 言 数学建模是20世纪80年代初进入我国大学的一门新课，其主要内容是通过众多的示例着重介绍如何将实际问题“翻译” 成数学问题，以及数学求解的结果又如何“翻译”回到实际中去。课堂讲授需要简明的实际背景、合理的模型假设、有创意的模型构造及必要的模型检验，不会涉及太多的数学概念和繁琐的公式推导，因此适宜采用多媒体电子课件进行教学。  数学模型的形式:由数字,字母或其它数学符号组 成的,描述现实对象数量规律的数学公式,图形或算法. 敏感性分析 估计r=2， g=0.1 研究 r, g变化时对模型结果的影响 设r=2不变 t 对g的（相对）敏感度 生猪价格每天的降低量g增加1%，出售时间提前3%。 g t 第三章 简单的优化模型 《数学模型》 姜启源 主编 强健性分析 保留生猪直到利润的增值等于每天的费用时出售 由 S(t,r)=3 建议过一周后(t=7)重新估计 , 再作计算。 研究 r, g不是常数时对模型结果的影响 w=80+rt ?w = w(t) p=8-gt ? p =p(t) 若 (10%), 则 （30%） 每天利润的增值 每天投入的资金 第三章 简单的优化模型 《数学模型》 姜启源 主编 3.3 森林救火 森林失火后，要确定派出消防队员的数量。 队员多，森林损失小，救援费用大； 队员少，森林损失大，救援费用小。 综合考虑损失费和救援费，确定队员数量。 问题分析 问题 记队员人数x, 失火时刻t=0, 开始救火时刻t1, 灭火时刻t2, 时刻t森林烧毁面积B(t). 损失费f1(x)是x的减函数, 由烧毁面积B(t2)决定. 救援费f2(x)是x的增函数, 由队员人数和救火时间决定. 存在恰当的x，使f1(x), f2(x)之和最小 第三章 简单的优化模型 《数学模型》 姜启源 主编 关键是对B(t)作出合理的简化假设. 问题分析 失火时刻t=0, 开始救火时刻t1, 灭火时刻t2, 画出时刻 t 森林烧毁面积B(t)的大致图形 t1 t2 0 t B B(t2) 分析B(t)比较困难,转而讨论森林烧毁速度dB/dt. 第三章 简单的优化模型 《数学模型》 姜启源 主编 模型假设 3）f1(x)与B(t2)成正比，系数c1 (烧毁单位面积损失费） 1）0?t?t1, dB/dt 与 t成正比，系数? (火势蔓延速度） 2）t1?t?t2, ? 降为?-?x (?为队员的平均灭火速度） 4）每个队员的单位时间灭火费用c2, 一次性费用c3 假设1）的解释 ? r B 火势以失火点为中心，均匀向四周呈圆形蔓延，半径 r与 t 成正比 面积 B与 t2成正比， dB/dt与 t成正比. 第三章 简单的优化模型 《数学模型》 姜启源 主编 模型建立 b 0 t1 t t2 假设1） 目标函数——总费用 假设3）4） 假设2） 第三章 简单的优化模型 《数学模型》 姜启源 主编 模型建立 目标函数——总费用 模型求解 求 x使 C(x)最小 结果解释 ? /? 是火势不继续蔓延的最少队员数 b 0 t1 t2 t 其中 c1,c2,c3, t1, ? ,?为已知参数 第三章 简单的优化模型 《数学模型》 姜启源 主编 模型应用 c1,c2,c3已知, t1可估计, c2 ?? x? c1, t1, ? ? ? x? c3 ,? ? ? x ? 结果解释 c1~烧毁单位面积损失费, c2~每个队员单位时间灭火费, c3~每个队员一次性费用, t1~开始救火时刻, ?~火势蔓延速度, ?~每个队员平均灭火速度. 为什么? ? ,?可设置一系列数值 由模型决定队员数量x 第三章 简单的优化模型 《数学模型》 姜启源 主编 3.4 最优价格 问题 根据产品成本和市场需求，在产销平衡条件下确定商品价格，使利润最大 假设 1）产量等于销量，记作 x 2）收入与销量 x 成正比，系数 p 即价格 3）支出与产量 x 成正比，系数 q 即成本 4）销量 x 依赖于价格 p, x(p)是减函数 建模与求解 收入 支出 利润 进一步设 求p使U(p)最大 第三章 简单的优化模型 《数学模型》 姜启源 主编 使利润 U(p)最大的最优价格 p*满足 最大利润在边际收入等于边际支出时达到 建模与求解 边际收入 边际支出 第三章 简单的优化模型 《数学模型》 姜启源 主编 结果解释 q / 2 ~ 成本的一半 b ~ 价格上升1单位