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第一章 有限元方法结构
有限元方法作为一种数值方法,用来进行固体力学的结构分
析或是用来求解一般场的问题时,大致要经过如下几个过程:
寻找与原始 问题相适应的变分形式;
建立有限元子空间,即选择元素类型和相应的形状函数;
单元刚度矩阵的计算和总刚度矩阵的合成;
有限元方程组的求解;
回到实际问题中去
这一章里,我们将对上述前四个过程给予系统的论述
变分原理和 变分原理
考察 问题
其中 )一 阶 连 续 可 导 ,且 )连 续
且 是 的外法线方 向, 是 中的连 通 区域 ,它
的边界 分段光滑
本书公式全部按节编号,在本章内直接引用;跨章引用时前有所属章号说明
以 )和 )分 别记 上一切一阶和二阶连续可导函
数的全体
如果函数 ( ,并且具有一直到边界上的一阶连
续 导数,它在 内及 上满足 ,那 么称 为定解问
题 的古典解
实际上,上述古典解要求太苛刻 了,我们力求放宽它的条
件 ,而 使 解的范围能加以扩大,为此先引进范数
在范数 下,完 备 化 所得到的函数空间记为 ,若
引进 内积
则 )便 是 空间,这种类型 的 空间称为一
阶 空 间 记 )为 上一切无限可微且支集在
内函数 的全体 , )在 范数( )下完备化 ,得到的空间记
为 ( )
设 ) 在 内分片一阶光滑, ( )在
范数 下完备化所得到的空 间等价于:
在 上赋于内积 ,则 也是一个 空 间,且
( ) )
引进双线性泛函
即当固定 时, )是 的线性泛函,而固定 时 ,则 是 的
线性泛函 换句话说 ,若 为任意常数,那么
) )
+ )
( )
可 以证明由( 所定义的 )具有下列性质:
()对 称 性 即
) 在 上连续 即存在一个常数 使得
) 在 上是强制的 即存在常数 使得
作线性泛函
显然, )也是 的连续泛函
)相应 的变分问题是:求 ,使得
满足 的解 称为 的弱解
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