离散数学第3章集合论初步.pptVIP

* 定理 A?B ? A∪B=B。 同学自己证明 四. 差运算 - (相对补集) 定义：A、B是集合，由属于 A，而不属于 B 的元素构成的集合，称之为 A 与 B 的差集，或B 对 A 的相对补集，记作 A-B。 例如：A={1,2,3}，B={2,3,4} A-B={1} 谓词定义： A-B ={x|x∈A∧x ? B} x∈A-B ? x∈A∧x?B A B A-B 性质： 设 A、B、C是任意集合，则 ⑴ A-Φ=A ⑵ Φ-A=Φ ⑶ A-A=Φ ⑷ A-B?A ⑸ (A-B)-C=(A-C)-(B-C)（没有结合律） ⑹ ∩对-满足分配率 A∩(B-C) = (A∩B)-(A∩C) 证明：对任意x， x∈(A∩B)-(A∩C) ? x∈(A∩B)∧x?(A∩C) ? (x∈A∧x∈B)∧(x?A∨x?C) ? (x∈A∧x∈B∧x?A)∨(x∈A∧x∈B∧x?C) ? x∈A∧(x∈B∧x?C) ? x∈A∧x∈B-C ? x∈A∩(B-C) 所以 A∩(B-C)=(A∩B)-(A∩C) 因为 x∈A? x∈B 于是 x∈A? x∈B ?T 所以 A = B ⑺ 但∪对 - 不满足分配率 反例： A∪(A-B)=A 而 (A∪A)-(A∪B)=Φ 所以并对差不满足交换律。 自然联想到 –对∩及∪是否满足分配率？ 有如下公式： ⑻ A-(B∩C)=(A-B)∪(A-C) ⑼ A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C) 注意：这不是分配律 定理：A?B ? A-B=Φ 证明： A-B=Φ ? ?x(x∈A-B ? x∈Φ) ? ?x(x∈A-B ? F ) ??x(?( x∈ A-B )) （P ? F ? ? P） ??x(?(x∈A∧ x?B)) ??x( x?A∨ x∈B) ??x(x∈A?x∈B) ? A?B 五. 绝对补集 ~ 定义：A 是集合，由不属于 A 的元素构成的集合，称之为 A 的绝对补集，记作 ~A。 实际上 ~A=E-A。 例如：E={1,2,3,4} A={2,3}，~A={1,4} 谓词定义： ~A =E-A={x|x∈E∧x ? A} = {x|x ? A} x∈~A ? x?A A ~A E 性质：设A、B、C 是任意集合，则 ⑴ ~E=Φ ⑵ ~Φ=E ⑶~(~A)=A ⑷ A∩~A=Φ ⑸ A∪~A=E ⑹ A-B=A∩~B ⑺ ~(A∩B)=~A∪~B ⑻ ~(A∪B)=~A∩~B 证明⑺：对任意元素x， x∈ ~(A∩B) ? x?A∩B ? ?(x∈A∧x∈B) ? x?A∨x?B ? x∈~A∨x∈~B ? x∈ ~A∪~B 　 所以 ~(A∩B)=~A∪~B 定理1 A?B ? ~B?~A 证明： A?B ??x(x∈A?x∈B) ??x(x?B?x?A) ??x(x∈~B?x∈~A) ? ~B?~A 定理2 ~A=B 当且仅当A∪B=E且A∩B=Φ 证明： A∪B=E∧A∩B=Φ ??x(x∈A∪B?x∈E)∧ (P?T?P) ?x(x∈A∩B?x∈Φ) (P?F??P) ??x(x∈A∪B?T)∧?x(x∈A∩B?F) ??x(x∈A∪B∧?(x∈A∩B)) ??x((x∈A∨x∈B)∧?(x∈A∧x∈B)) ??x((x∈A∨x∈B)∧(x?A∨x?B)) ??x((x?A?x∈B)∧(x∈B?x?A)) ??x((x∈~A?x∈B)∧(x∈B?x∈~A)) ??x(x∈~A?x∈B) ?~A=B 六、对称差 ? 定义：A、B是集合，由属于A而不属于B，或者属于B而不属于A的元素构成的集合，称之为A与B的对称差，记作A?B。 例如A={1,2,3} B={2,3,4} A?B={1,4} 谓词定义： A?B=(A-B)∪(B-A) ={x|(x∈A∧x?B)∨(x∈B∧x?A)} A?B=(A∪B)-(A∩B) A B A?B