第2节-矩阵可对角化的条件、实对称矩阵的对角化.pptVIP

* §2 矩阵可对角化的条件、实对称矩阵的对角化 * §1 特征值与特征向量、相似矩阵 第五章 矩阵的特征值与特征向量 §2 矩阵可对角化的条件、实对称 矩阵的对角化 §2 矩阵可对角化的条件、实对称矩阵的对角化 一、矩阵可对角化的条件 二、实对称矩阵的对角化 称矩阵A可对角化. 定义1：矩阵A是一个 阶方阵，若存在可逆矩阵 ，使 为对角矩阵，即A与对角矩阵相似，则 一、矩阵可对角化的条件 定理1 ：设矩阵A 是一个 阶方阵，则A可对角化 　 有 个线性无关的特征向量. 推论 若n阶矩阵A有n个不同特征值，则A可对角化. 定理2 ：设矩阵A 是一个 阶方阵，则A可对角化 　属于A的每个特征值的线性无关特征向量的个数 等于该特征值的重数. 例1. 设 问 为何值时，A可对角化？ 对角化的判断 1°求出矩阵A的全部互不相等的特征值 2°对每一个特征值 　，求出齐次线性方程组 步骤: 的一个基础解系（此即A的属于 的全部线性无关 的特征向量）. 3°若全部基础解系所含向量个数之和等于n ，则 矩阵A可对角化；否则A不可对角化. 4°以这些解向量为列，作一个n阶方阵P，则P可逆， 就是对角矩阵，对角矩阵对角线上元素是A的 互不相等的特征值. 例2. 问A是否可对角化？若可，求可逆矩阵P，使 为对角矩阵. 这里 得A的特征值是2，2，-7 . 解: A的特征多项式为 对于特征值2，求出齐次线性方程组 对于特征值－7，求出齐次方程组 的一个基础解系: 的一个基础解系: 令 则 所以A可对角化. 二、实对称矩阵的对角化 性质1 设A是实对称矩阵，则A的特征值都是实数． 证：设 是A的任意一个特征值，则有非零向量 满足 其中 为 的共轭复数， 令 又由A实对称，有 于是 由于　是非零复向量，必有 故 注 （1）对称矩阵的特征值未必是实数． （2）特征值皆为实数的实矩阵未必是实对称矩阵． （3）反对称实数矩阵的特征值是零或纯虚数．