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第五章 留数定理及其应用 第一节 留数及留数定理 第二节 应用留数定理计算实函数的积分 第一节 留数及留数定理 留数的概念 留数的计算方法 求留数举例 留数定理 留数定理的应用 第二节 应用留数定理计算实函数的积分 关键 将定积分中的实函数变为解析函数 若被积函数为初等函数：f(x)? f(z) 设计辅助函数F(z)，使其实部或虚部为f(x) 添加辅助线，将原定积分的积分区间化为闭合围线 原则：使添加路径上的积分容易计算，或为原来的定积分乘以一个常数 步骤 添加辅助线：积分路线?闭合围线 选择一个在闭合围线内除一些孤立奇点外都解析的被积函数F(z) ： 使得F(x)= f(x), 或F(z)的实部或虚部为 f(x) 计算F(z)在闭合围线内每个孤立奇点的留数 计算在辅助曲线上F(z)的积分值 类型一 类型二 类型三 举例 对于条件(1) 当函数 f (z) 在上半平面上有无穷多个奇点时该如何处理 例子 说明II： 奇点 z=??/2i, ?3?/2i, ? 第二节 应用留数定理计算实函数的积分 y=? O -R R y=0 y=?/2 奇点 z=??/2i, ?3?/2i, ?，周期 2?i 计算积分 设 第二节 应用留数定理计算实函数的积分 ？思考： 第二节 应用留数定理计算实函数的积分 计算积分 例1 计算积分 例2 第二节 应用留数定理计算实函数的积分 数学物理方法 * Huafeng Zhang School of Physical Science and Technology, Yangtze University 张华峰 长江大学物理科学与技术学院 数学物理方法 * Huafeng Zhang School of Physical Science and Technology, Yangtze University 则称 f (z)的Laurent级数中(z - z0 )-1的系数a-1为 f (z)在 z0 点的留数（也称残数），记为 或 设 z0 是函数 f (z) 的孤立奇点，则由Laurent定理知：在 z=z0 点的某个去心邻域内 f (z) 可展开成Laurent级数 系数a-1的特殊作用 如何计算留数，或系数a-1 z0 ? 第一节 留数及留数定理 (1) 一般方法：利用留数的定义来求留数 将函数在奇点处展为洛朗级数，其负一次幂的系数即为留数 (A) 可去奇点 (B) m 级极点 (C) 本性奇点 利用留数的定义来计算留数 第一节 留数及留数定理 (2) 根据孤立奇点的类型来计算留数 求函数 在 z=1 处的留数 例1 试确定函数 的极点，并求 f (z) 在这些极点处的留数 例2 试确定函数 的极点，并求 f (z) 在这些极点处的留数 例3 第一节 留数及留数定理 试计算函数 在奇点处的留数 例4 设函数 f (z) 在闭合回路C所围成的区域B内除有限个孤立奇点 z1, z2, …, zN 外解析，并且直到边界连续，则有 B C z1 z2 zN B C z1 z2 zN 第一节 留数及留数定理 设 计算积分 例1 奇点 一级极点 0 1 第一节 留数及留数定理 计算积分 例2 计算积分 例3 计算积分 例4 第一节 留数及留数定理 设函数 f (z) 在闭合回路C所围成的区域B内除有限个孤立奇点 z1, z2, …, zN 外解析，并且直到边界连续，则有 B C z1 z2 zN 其中 可去奇点： m 级极点： 本性奇点： 第二节 应用留数定理计算实函数的积分 Newton-Leibnitz公式 其中函数F(x)是函数f(x)的原函数 困难：求原函数 复函数的求积公式 问题：寻找一条新的方法 a b 第二节 应用留数定理计算实函数的积分 其中被积函数是三角函数的有理分式函数；积分区间为[0,2?] 0 1 0 2? 利用留数定理计算实积分的步骤： 将实积分化成闭合回路的复积分 利用留数定理 计算留数 第二节 应用留数定理计算实函数的积分 例2： 例1： 其中0?1