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第七章 Brown运动 一、直线上的随机游动 四、布朗运动的简单性质 3，平移不变性： 若{Wt , t≥0}为布朗运动，则{Wt+a-Wa , t≥0}（a为常数）也是布朗运动 在B(t0)=x0的条件下，B(t0+t)的条件密度函数为 第二节 高斯过程 第三节 布朗运动的鞅性质 第四节 布朗运动的马尔可夫性 第五节 首中时、最大值变量及反正弦律 一、 布朗桥 3、布朗桥在统计中的应用 三、在原点反射的布朗运动 四、几何布朗运动 五、积分布朗运动 六、布朗运动的形式导数 七、带有漂移的布朗运动 由推论1和推论2知，布朗运动以概率1迟早会击中a，但它的平均时间却是无穷的。并且布朗运动从任何一点出发击中a的概率都是1。性质P(Ta∞)=1称为布朗运动的常返性。 二、最大值及其分布 称为布朗运动在[0,t]中的最大值。 利用 可得 类似地可得到布朗运动在[0,t]中的最小值 的分布。 三、反正弦律 对任意的t1t2，记事件 0(t1,t2)={至少有一个t∈ (t1,t2), 使得B(t)=0} ={在(t1,t2)内， B(t)=0至少有一个零点}，由全 概公式有 由布朗运动的连续性、对称性及马尔可夫性知 定理：记0(t1,t2)={至少有一个t∈ (t1,t2), 使得B(t)=0} {在t∈ (t1,t2)内没有一个t, 使得B(t)=0}，则 令u=t1v2，则上式化为 特别，当t1=xt, t2=t, 0x1时，有 1、定义：设{B(t), t≥0}为标准布朗运动，B(0)=0，条件随机过程{B(t)， 0≤ t ≤ 1∣ B(1)=0 } 称为布朗桥。显然布朗桥过程是高斯过程。 下面我们来计算布朗桥过程的期望与协方差 第六节 布朗运动的各种变化 2、命题：设{B(t), t≥0}为标准布朗运动，B(0)=0，令X(t)= B(t)-tB(1)，则 {X(t),0≤ t ≤1}为布朗桥过程。 证明：显然{X(t),0≤ t ≤1}是高斯过程，只需证明E(X(t))=0及s ≤t时Cov(X(s),X(t))=s(1-t)。显然有 E(X(t))=E[B(t)-tB(1)]=0 布朗桥在研究经验分布函数中起着非常重要的作用。设X1,X2, …Xn, …独立同分布，Xn~U(0,1) ，对0s1,记 Nn(s)表示前n个X1,X2, …Xn 中取值不超过s的个数， 称Fn(s)为经验分布函数。 显然Nn(s)~B(n,s)，由强大数定理有 由格利汶科-康泰利定理可以得到更强的结果， 即Fn(s)以概率1一致地收敛于s. 则 所以 的极限过程是一正态过程。 可以证明 的联合分布趋于二维正 态分布。 所以当n→∞时， 的极限过程即为布朗桥过程。 一般的，设X1,X2, …Xn, …独立同分布，F(x)为分布函数，则随机变量F(Xi)~U(0,1)。记 类似可讨论 的极限分布。 二、在某点被吸收的布朗运动 设Tx为布朗运动B(t)首次击中x的时刻，x0。令 则{Z(t),t≥0}是击中x后被吸收停留在x状态的布 朗运动。 Z(t)是混合型随机变量。 当yx时，有 而 令 ，则称{Y(t),t≥0}为在原点反射的布 朗运动。当y0时, 令 ，则{W(t),t≥0}称为几何布朗运动. 定理：若 则 定理： 令 称S(t)为积分布朗运动. 由正态分布的性质知，{S(t),t≥0}为正态过程。 设一粒子在直线上随机游动，即粒子每隔△t 时间，等 概率地向左或向右移动△x的距离。以X(t)表示时刻t粒子的 位置，则 其中 如果步长为△x的第i步向右 如果步长为△x的第i步向左 且Xi相互独立。 第一节 基本概念与性质 因为 所以 当 时，应有 令 则当 时，有 注：若 当 时， 当 时， 二、Brown运动的定义： 设{W(t) , t≥0} 是一个随机过程，若满足 1、轨线连续性 W(0)=0, W(t)是t的连续函数 2、增量服从正态分布 对固定的t，W(t) ~ N(0,c2t)，以及对ts有 W(t)-W(s) ~ N(0,c2(t-s)) 3、增量是独立的