第7章-正规子群-商群(补讲2).pptVIP

1 陪集与拉格朗日定理 本节主要讨论群的分解 陪集的定义、实例、性质 拉格朗日定理 陪集 定义1 设H是G的子群，a∈G。令 Ha＝{ha|h∈H} 称Ha是子群H在G中的右陪集(right coset)。称a为Ha的代表元素。 陪集的基本性质 定理2 设H是群G的子群，则 (1) He＝H。 (2) ?a∈G有 a∈Ha。 证明： 定理3 定理3 设H是群G的子群，则?a,b∈G 有 a∈Hb ? ab-1∈H ? Ha＝Hb 证明：先证 a∈Hb ? ab-1∈H。 定理3 反之，任取h1b∈Hb，则有 定理3的说明 该定理给出了两个右陪集相等的充分必要条件，并且说明在右陪集中的任何元素都可以作为它的代表元素。 在例1中， H＝{f1,f2} f3＝{1,3,2,2,3,1} f5＝{1,2,2,3,3,1} Hf3＝{f1?f3,f2?f3}＝{f3,f5} Hf5＝{f1?f5,f2?f5}＝{f5,f3} 可以看出 f3∈Hf5，所以 Hf3＝Hf5。 同时有 f3?f5-1＝f3?f6＝f2∈H 定理4 定理4 设H是群G的子群，在G上定义二元关系R：?a,b∈G， a,b∈R ? ab-1∈H 则R是G上的等价关系，且[a]R＝Ha。 证明：先证明R为G上的等价关系。 任取a∈G,由 aa-1＝e∈H ? a,a∈R 可知R在G上是自反的。 任取a,b∈G，则 定理4 b∈[a]R 定理4推论 推论 设H是群G的子群，则 (1)任取a,b∈G，Ha＝Hb 或 Ha∩Hb＝? (2)∪{Ha|a∈G}＝G 重要结果：给定群G的一个子群H，H的所有右陪集的集合{Ha|a∈G}恰好构成G的一个划分。 定理5 定理5 设H是群G的子群，则 a∈G，H≈Ha 右陪集 H的右陪集定义，即 Ha＝{ha|h∈H}，a∈G 右陪集的性质： 1.He＝H 2.?a∈G，a∈Ha 3.?a,b∈G，a∈Hb?ab-1∈H ?Ha＝Hb 4.若在G上定义二元关系R， ?a,b∈G,a,b∈R?ab-1∈H 则R是G上的等价关系， 且[a]R＝Ha。 5.?a∈G，H≈Ha。 左陪集举例 群G＝{f1,f2,…,f6}。令H＝{f1,f2}，则H在G中的全体左陪集如下： 关于陪集的进一步说明 对于子群H和元素a，它的左陪集aH与右陪集Ha一般说来是不等的。 H的左陪集个数与右陪集个数是相等的，因为可以证明f(Ha)＝a-1H，f在H的右陪集和左陪集之间建立了一一对应。 今后不再区分H的右陪集数和左陪集数，统称为H在G中的陪集数，也叫做H在G中的指数，记作[G:H]。 对于有限群G，H在G中的指数 [G:H] 和 |G|,|H|有密切的关系，这就是著名的拉格朗日定理。 定理6 设G是有限群，H是G的子群，则 |G|＝|H|·[G:H] 证明： 设[G:H]＝r，a1,a2,…,ar分别是H的r个右陪集的代表元素。 根据定理11.10的推论有 G＝Ha1∪Ha2∪…∪Har 由于这r个右陪集是两两不交的，所以有 |G|＝|Ha1|+|Ha2|+…+|Har| 由定理11.11可知，|Hai|＝|H|，i＝1,2,…,r。 将这些等式代入上式得 |G|＝|H|·r＝|H|·[G:H] 前页 前页 前页 * 目录 后页 返回 * 前页 例 1 设A={1,2,3}，f1, f2, …, f6是A上的双射函数. 其中f1={1,1,2,2,3,3}， f2={1,2,2,1,3,3}f3={1,3,2,2,3,1}， f4={1,1,2,3,3,2}f5={1,2,2,3,3,1}， f6={1,3,2,1,3,2}令G={f1, f2, … , f6}，则G关于函数的复合运算构成群. 考虑G的子群H={f1, f2}. 做出H的全体右陪集如下： Hf1={f1?f1, f2?f1}={f1, f2}=H，Hf2={f1?f2, f2?f2}={f2, f1}=H  Hf3={f1?f3, f2?f3}={f3, f5}，Hf4={f1?f4, f2?f4}={f4, f6} Hf5={f1?f5, f2?f5}={f5, f3}， Hf6={f1?f6, f2?f6}={f6, f4} Hf1=Hf2，Hf3=Hf5，Hf4=Hf6.  (1) He ＝{he|h∈H} ＝{h|h∈H} ＝H? ?(2) 任取a∈G， 由a＝ae和ae∈Ha 得a∈Ha。 a∈Hb ? ?h(h∈H∧a＝