第三章(边值问题).pptxVIP

第三章 静电场的边值问题 主 要 内 容电位微分方程，镜像法，分离变量法。1.电位微分方程 2.镜像法 3.直角坐标系中的分离变量法4.圆柱坐标系中的分离变量法 5.球坐标系中的分离变量法 对于线性各向同性的均匀介质，电场强度E 的散度为 已知电位 ? 与电场强度 E 的关系为 对上式两边取散度，得 那么，电位满足的微分方程式为 1. 电位微分方程泊松方程 对于无源区， ，上式变为 已知分布在V? 中的电荷 在无限大的自由空间产生的电位为拉普拉斯方程上式为泊松方程在自由空间的特解。 利用格林函数可以求出泊松方程在有限空间的通解。(课本P78-79页)定解条件数学物理方程描述物理量随时间和空间的变化特性。初始条件边界条件 静电场与时间无关，因此电位所满足的泊松方程及拉普拉斯方程的解仅决定于边界条件。 根据给定的边界条件求解空间任一点的电位就是静电场的边值问题。 此处边界条件实际上是指给定的边值，它不同于前一章描述静电场的边界上场量变化的边界条件。边界条件有三种类型： 第一类边界条件给定的是边界上的物理量，这种边值问题又称为狄利克雷（Dirichlet）问题。 第二类边界条件是给定边界上物理量的法向导数值，这种边值问题又称为诺依曼(Neumann)问题。 第三类边界条件是给定一部分边界上的物理量及另一部分边界上物理量的法向导数值，这种边界条件又称为混合边界条件。解的存在、稳定及惟一性问题。存在是指在给定的定解条件下，方程是否有解。 稳定性是指当定解条件发生微小变化时，所求得的解是否变化很大。 惟一性是指在给定的定解条件下所求得的解是否是惟一的。 静电场是客观存在的，因此电位微分方程解的存在确信无疑。 泊松方程及拉普拉斯方程解的稳定性在数学中已经得到证明。可以证明电位微分方程解具有惟一性。 利用格林函数得到泊松方程在有限空间的通解。?对第一类边界条件，给定边界上的，可选择格林函数在边界上满足，从而得到?对第二类边界条件，给定边界上的，可选择格林函数在边界上满足，从而得到已知 若静电场的边界为导体，此时给定导体上的电位就是第一类边界。可见，表面电荷给定等于给定了电位的法向导数值。因此，若给定导体表面上的电荷量就是第二类边界。 因此，对于导体边界，当边界上的电位，或电位的法向导数给定时，或导体表面电荷给定时，空间的静电场即被惟一地确定。这个结论称为静电场惟一性定理。 对于线性各向同性的均匀介质，有源区中的电位满足泊松方程方程 在无源区，电位满足拉普拉斯方程 静电场的边值问题 —— 根据给定的边界条件求解静电场的电位分布。利用格林函数，可以求解泊松方程。利用分离变量法可以求解拉普拉斯方程。求解静电场边值问题的另一种简单方法是镜像法。aUOb求得 例 已知同轴线的内导体半径为a，电位为U，外导体接地，其内半径为b。试求内外导体之间的电位分布函数以及电场强度。 解 选用圆柱坐标系。由于场量仅与坐标 r 有关，因此，电位所满足的拉普拉斯方程变为利用边界条件：求得最后求得2.镜像法 实质: 以一个或几个等效电荷代替边界的影响，将原来具有边界的非均匀空间变成无限大的均匀自由空间，从而使计算过程大为简化。 这些等效电荷通常处于原电荷的镜像位置，因此称为镜像电荷，而这种方法称为镜像法。 依据：惟一性定理。等效电荷的引入不能改变原来的边界条件。关键：确定镜像电荷的大小及其位置。 局限性：仅仅对于某些特殊的边界以及特殊的电荷分布才有可能确定其镜像电荷。 P P r r q q h? 介质 ? 介质 ? 介质 h导体 无限大导体平面的电位为零（1）点电荷与无限大的导体平面 以一个镜像点电荷q代替边界的影响，使整个空间变成均匀的介电常数为? 的空间，则空间任一点 P 的电位由 q 及 q 共同产生，即 z ??等位面电场线 电场线与等位面的分布特性与电偶极子的上半部分完全相同。P P r r q q h? 介质 ? 介质 ? 介质 h导体 ？*根据电荷守恒原理，镜像点电荷的电荷量应该等于导体表面上感应电荷的总电荷量。*在辅助面上积分，由高斯定理得到总感应电荷*上述等效性仅对于导体平面的上半空间成立，因为在上半空间中，源及边界条件未变。例如，夹角为 的导电劈需引入 5 个镜像电荷。?q??/3?q???/3??? 对于半无限大导体平面形成的劈形边界也可应用镜像法。但是为了保证这种劈形边界的电位为零，必须引入几个镜像电荷。?l?l???–?l 仅当这种导体劈的夹角等于 ? 的整数分之一时，才可求出其镜像电荷。为什么？ 位于无限大的导体平面附近的线电荷，根据叠加原理得知，同样可以应用镜像法求解。 Prar?qOq?df（2）点电荷与导体球 若导体球接地，导体球的电位为零。令镜像点电荷q? 位于球心与点电荷 q 的连线上，那