第三章---量子力学初步.pptVIP

四、代表力学量的算符 每一个力学量可以用一个算符来表示。下面介绍薛定谔方程中几个常用的算符。把自由粒子的波函数对x求一阶偏导. 可见动量Px可用算符 代表。同样可以写出代表动量Py和Pz以及代表动量平方的算符如下。 由前面推导知： 将上式对时间 t 取一阶偏微商得： 代表能量的算符E 哈密顿算符 将哈密顿算符运算于u(r), 即有： 此式是于时间无关的薛定谔方程 此方程称为本征值方程，由此求出的u称为能量算符的本征函数，同每个本征值函数u对应的E值，称为能量算符的本征值。 3.5 量子力学问题的几个简例 例1：一个粒子在如图所示的势场中运动，它的势能为 这种势场称为一维无限深势阱。在一维无限深势阱中粒子如何运动？它的波函数如何？能量如何？ 解：由于粒子做一维运动，所以有 由于势能 中不显含时间，故用定态薛定谔方程求解。 因此一维定态薛定谔方程为 1．方程的通解 (1) 所以波函数为零，即 粒子不可能跑到阱外去， (2) 时， ， 方程为 令 二阶齐次微分方程，它的通解为 式中A、B为两常数。 2．常数的确定及能量量子化 根据波函数的标准条件，波函数应连续， ，( ？) 当 时， 表明几率处处恒为0，即不存在粒子，这是不可能的。 * * 第三章 量子力学初步 主要参考书： 褚圣麟编的《原子物理学》 杨福家编的《原子物理学》 内容： 1、微观粒子的波粒二象性 2 、测不准原理 3、波函数及其物理意义 4、薛定谔波动方程 5、 量子力学问题的几个简例 6、量子力学对氢原子的描述 3.1 微观物质的波粒二象性 一、光的波粒二象性 光的波动性：光的干涉、衍射、偏振。 光的微粒性：黑体辐射、光电效应。 一个光子的能量: 按照相对性原理，能量与质量的关系： 波数 ------光的波粒二象性 二、德布罗意关系式 微观粒子和光子一样，在一定的条件下显示出波 动性。具有一定能量 E 和一定动量 p 的自由粒子，相当于具有一定频率 ? 和一定波长 ? 的平面波，二者之间的关系为： 与实物粒子相应的波称为德布罗意波或物质波，?称为德布罗意波长。 ----德布罗意关系式。 粒子的德布罗意波长： 1．当 时， 2．当 时， 德布罗意波的实验验证：戴维孙和孔斯曼在德布罗意的建议提出以前，在1921到1923年间就观察到，电子被多晶体的金属表面散射时，在某几个角度上散射较强，当时未有合理的解释。其实这已经显示了电子的波动性。 三、德布罗意假设的实验验证 1927年，戴维逊和革末，电子衍射实验，测量了电子波的波长，证实了德布罗意假设。 1．实验装置 由热金属丝发射的电子，加速后经过前后几个小孔，形成一道电子束，打在晶体上。晶体可以绕一平行于电子束的轴转动。接收器（电子探测器）同一个灵敏电流计相接，用以测量收到的电子的数量。电子探测器可以在一圆弧上移动，圆弧的圆心在晶体上，所以，电子探测器可以在不同角度接受从晶体散射出来的电子。 2．实验结果 (1)当U不变时，I与?的关系如图：不同的?，I不同；在有的?上将出现极值。 (2)当?不变时，I与U的关系如图：当U改变时，I亦变；而且随了U周期性的变化。 当 时加强----布拉格公式。 波程差： 3 实验解释 经过电场加速的电子： 根据电子在晶体上散射的实验，强波束射出的条件是： －－－－(1) －－－－－－－－－－－(2) 在戴维孙和革末的实验中，d和 是固定的，使 渐变，观察强出射波束的出现。将(1)式代入(2)式得： 此式与实验数据符合，从而证实了电子的波动性及德布罗意波的正确性。 3.2 测不准原理 在经典力学的概念中，一个粒子的位置和动量是可以同时精确测定的。 在量子理论中，要同时测出微观物体的位置和动量，其精密度是有一定限制的。这个限制来源于微观物质的二象性。 海森伯推得，测量一个微粒的位置时，如果不确定范围是 ,那么同时测得其动量 也有一个不确定范围 二者的乘积总是大于一定的数值。即： 测不准原理 一、电子的单缝衍射(1961年，约恩逊成功的做出) 电子以速度?沿着y轴射向A屏，其波长为 ，