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第三章 量子力学初步 1、微观粒子的波粒二象性 2 、测不准原理 3、波函数及其物理意义 4、薛定谔波动方程 5、量子力学对氢原子的描述 (2)光的波粒二象性 1672年，牛顿，光的微粒说 1678年，惠更斯，光的波动说 19世纪末，光是一种电磁波 20世纪初，光量子 3．实验解释 晶体结构： 子初始时刻的状态 。原则上说，只要通过薛 定谔方程，就可以求出任意时刻的状态 。 5．在薛定谔方程的建立中，应用了 ，所 4．薛定谔方程中有虚数单位i，所以 一般是复数 形式。 表示概率波， 是表示粒子在时刻t、 在空间某处出现的概率。因而薛定谔方程所描述的状态 随时间变化的规律，是一种统计规律。 以是非相对论的结果；同时方程不适合一切 的粒子，这是方程的局限性。 例1：一个粒子在如图所示的势场中运动，它的势能为 这种势场称为一维无限深势阱。在一维无限深势阱中粒子如何运动？它的波函数如何？能量如何？ 解：由于粒子做一维运动，所以有 由于势能 中不显含时间，故用定态薛定谔方程求解。 方程的解为定态解 因此一维定态薛定谔方程为 1．方程的通解 (1) 所以波函数为零，即 粒子不可能跑到阱外去， (2) 时， ， 方程为 令 二阶齐次微分方程，它的通解为 式中A、B为两常数。 2．常数的确定及能量量子化 根据波函数的标准条件，波函数应连续， ? ，( ？) 当 时， 表明几率处处恒为0，即不存在粒子，这是不可能的。 波函数的归一化： ? 能量是量子化的 3．讨论 (1)能量不能任意取值，束缚在一维无限深势阱中的粒子的能量是量子的。这是由薛定谔方程加上标准条件自然地导出的，不用再做量子化的假定。 (2)波函数的物理意义 处在不同能级的粒子，在势阱中的几率分布不同。 (3)实际意义：金属内的自由电子，可看成在势阱中运动的粒子。 例2 势垒贯穿 粒子受到的势能为： 计算粒子在三个区出现的几率。 粒子具有的能量为E， 解：设粒子在I、II、III区的波函数分别为 ，它们满足的薛定谔方程为： 令 方程的解为： 根据波函数的连续条件和归一化条件可以确定常数，结果如图： 可见，虽然， 粒子仍可以穿过II区进入III区，这种贯穿势垒的效应称为隧道效应。粒子从I区到III区的几率为 扫描隧道显微镜(Scanning Tunneling Microscopy—STM) STM原理 . 0.1nm, 0.01nm 1986年，宾尼博士和罗雷尔与发明电子显微镜的鲁斯卡获诺贝尔物理学奖。 §15 氢原子的量子力学处理 一、氢原子的薛定谔方程 电子在原子核的库仑场中运动： 定态薛定谔方程： 氢原子问题是球对称问题，通常采用球坐标系： 氢原子在球坐标下的定态薛定谔方程： 二、分离变量 1． 代入方程，并用 乘以两边： 是一个与 无关的常数。 径向方程： 角方程： 2． 代入方程，并 用乘以两边： 是一个与 无关的常数。 三、 三方程的解 1． 方程的解 方程的解为： 波函数单值： 波函数归一化： 2． 方程的解 关联勒让德方程。求解过程中发现，为了得到符合波函数标准条件的解，必须对 和 加以限制： 方程的解为关联勒让德多项式： 3． 方程的解 关联拉盖尔方程，方程的解为关联拉盖尔多项式 玻尔半径 只要给出了 、 的一对具体的数值，就可以得到一个満足标准条件的解。 * Chapter 3 Quantum mechanics introduction 本章要点 §12 波粒二象性 (1) 经典物理中的波粒二象性 粒子：定域性 描述：位置，动量，能量； 波动：扩展性 描述：波长，频率。波的测量：拍要观察到一个完整“拍”，必须满足的条件：从时间看 或从空间看，必须满足 ------光的波粒二象性 (3)德布罗意关系式 微观粒子和光子一样