第二章-静电场--镜像法.pptVIP

根据前面的讨论知道：在所考虑的区域内没有自由电荷分布时，可用Laplaces equation求解场分布；在所考虑的区域内有自由电荷分布时，用Poissons equation 求解场分布。 如果在所考虑的区域内只有一个或者几个点电荷，区域边界是导体或介质界面，这类问题又如何求解？这就是本节主要研究的：解决这类问题的一种特殊方法— 称为镜象法。 镜象法的理论基础 镜象法的理论基础是唯一性定理。其实质是在所研究的场域外的适当地方，用实际上不存在的 “象电荷” 来代替真实的导体感应电荷或介质的极化电荷对场点的作用。在代替的时候，必须保证原有的场方程、边界条件不变，而象电荷的大小以及所外的位置由Poissons equation or Laplaces equation 和边界条件决定。 这里要注意几点： a) 唯一性定理要求所求电势必须满足原有电荷分布所满足的Poisson’s equation or Laplace’s equation，即所研究空间的泊松方程不能被改变（即自由点电荷位置、大小不能变）。因此，做替代时，假想电荷必须放在所求区域之外。在唯一性定理保证下，采用试探解，只要保证解满足泊松方程及边界条件即是正确解。 b)由于象电荷代替了真实的感应电荷或极化电荷的作用，因此放置象电荷后，就认为原来的真实的导体或介质界面不存在。也就是把整个空间看成是无界的均匀空间。并且其介电常数应是所研究场域的介电常数。（实际是通过边界条件来确定假想电荷的大小和位置）。 c)一旦用了假想（等效）电荷，不再考虑原来的电荷分布。 d)象电荷是虚构的，它只在产生电场方面与真实的感应电荷或极化电荷有等效作用。而其电量并不一定与真实的感应电荷或真实的极化电荷相等，不过在某些问题中，它们却恰好相等。 e)镜象法所适应的范围是：①所求区域有少许几个点电荷，它产生的感应电荷一般可以用假想点电荷代替；②导体或介质的边界面必是简单的规则的几何面（球面、柱面、平面）。 镜象法的具体应用 用镜象法解题大致可按以下步骤进行 ： a)正确写出电势应满足的微分方程及给定的边界条件；（坐标系选择仍然根据边界形状来定） b)根据给定的边界条件计算象电荷的电量和所在位置； c)由已知电荷及象电荷写出势的解析形式； d) 根据需要要求出场强、电荷分布以及电场作用力、电容等。 也可以这样证明：根据Gauss定理，对球作Gauss面，即 根据上述例子，作如下几点讨论： a) 导体球既不接地又不带电 这种情况与本例的差别仅在于边界条件，这里 导体球不带电，即要求满足电中性条件 显然，例3的解不满足电中性的条件，如果在球内再添置一个象电荷 ，则满足电中性条 件，为了不破坏导体是等位体的条件，由对称性知道，Q必须放在球心处，于是 再由 得到 b)导体球不接地其电势为U0 这种情况与例3的差别仍然在边界条件，这里 U0 是已知常数，导体球的电势为U0，相当于在球心处放置了电量为 的点电荷，显然，其解为 由 得到 c)若点电荷Q在导体球内距球心a处 这时与例3的情况相比，仅是源电荷的位置由球 外搬进到球内。此时，接地球外无场强，场的区域在球内。故可根据光路可逆性原理来解释：球内的电势等于源电荷Q和球面上的感应电荷（球内表面） —象电荷Q（在球外 处）产生的电势： 这里要注意：象电荷的电量Q大于源电荷的电量Q， d) 若导体球不接地带电q 这种情况的物理模型为： 则球心有电荷（q- Q) ，则P点的电势为 由 得到 顺便计算导体对点电荷Q的作用力： 此时，源电荷Q所受到的作用力来自球面上的电场，即 从而得到 当aR0 ， ，即近似为两点电荷作用，作用力为排斥力； 当Q靠近球面时， ，此时不论q与Q是否同号，作用力永远为引力，这可由在Q附近的感应电荷与其反号来解释。 4. 均匀场中的导体球所产生的电势 由于静电屏蔽， 场区域只能在球外。 Solution: 本题的物理图象是在原有的均匀电场中放置一中性导体球。此时导体球上的感应电荷也要在空间激发场，故使原来的空间电场发生了变化，如图所示。由此可见，球外空间任一点的场将是一个均匀场和一个与球体