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第五讲 数学规划模型 (二） 5.1斯大林格勒战役德军空中补给 5.2军事工程施工物资保障效率 斯大林格勒战役 斯大林格勒战役，是第二次世界大战的主要转折点。参战主要军队为苏联和纳粹德国。一般认为，该次战役包括下述几部分：德军对苏联南部城市斯大林格勒（现称“伏尔加格勒”）的大规模轰炸行动；德军攻入市区；市区的巷战；苏联红军合围；最终全歼德军及轴心国盟军。 时间为1942年7月17日开始至1943年2月2日 ，历时六个半月，伤亡人数超过200万人。 5.1斯大林格勒战役德军空中补给 1942年11月23日，苏军完成了对斯大林格勒的包围。苏军3个方面军将德第6集团军的5个军22个师，罗马尼亚和意大利部队以及部分克罗地亚军队共约27万人合围在斯大林格勒1500平方公里的地域内，第6集团军只有约5万人的部队被分割在包围圈之外。 德国空军必须通过“空中桥梁”为第6集团军提供每天700吨的需求。 被围德军空中补给需求 空中飞行计划模型 在斯大林格勒战役中，德国第六集团军被苏联军队包围长达4个月，由于苏军封锁了所有水陆交通通道，被包围的德军只能依靠空中交通维持供给，总共需要10万t物资。 运送4个月的供给分别需要2，3，3，4次飞行。 每次飞行编队由50架飞机组成（每架飞机需要3名飞行员）。 每架飞机每个月只能飞行一次，每名飞行员每个月也只能飞行一次。 在执行完运输任务后的返回途中有20%的飞机会被苏军击落，相应的飞行员也因此牺牲或失踪。 在第1个月开始时，德军拥有110架飞机和330名熟练的飞行员。 在每个月开始时，德军可以招聘新飞行员和购买新飞机。新飞机必须经过一个月的检查后才可以投入使用，新飞行员必须在熟练飞行员的指导下经过一个月的训练才能投入飞行。 每名熟练飞行员可以作为教练每个月指导20名飞行员（包括他自己在内）进行训练。 每名飞行员在完成一个月的飞行任务后，必须有一个月的带薪假期，假期结束后才能再投入飞行。 已知各项费用（单位略去）如下表所示，请为德军安排一个飞行计划。 第一个月 第二个月 第三个月 第四个月 新飞机价格 200.0 195.0 190.0 185.0 闲置的熟练飞行员报酬 7.0 6.9 6.8 6.7 教练和新飞行员报酬（包括培训费） 10.0 9.9 9.8 9.7 执行飞行任务的熟练飞行员报酬 9.0 8.9 9.8 9.7 休假期间的熟练飞行员报酬 5.0 4.9 4.8 4.7 飞行计划的原始数据 问题分析 把问题看成由飞机和飞行员构成的系统，动态变化的过程。 1 2 3 4 新员 新机 培训 检查 闲置员 闲置机 执行员 执行机 80％ 80％ 损失 新员 新机 培训 检查 闲置员 闲置机 执行员 执行机 80％ 80％ 损失 新员 新机 培训 检查 闲置员 闲置机 执行员 执行机 80％ 80％ 损失 新员 新机 培训 检查 闲置员 闲置机 执行员 执行机 +教 +教 +教 +教 决策变量 设4个月开始德军新购买的飞机数量分别为x1、x2 、x3、x4架，闲置的飞机数量分别为y1、y2、y3、y4架，飞行员中教练和新飞行员数量分别为u1、u2、u3、u4人，闲置的熟练飞行员数量分别为v1、v2、v3、v4人。 目标函数 可以看出，执行飞行任务以及执行飞行任务后休假的熟练飞行员数量是常数，所以这部分费用（报酬）是固定的。 Min z =200x1+195x2+190x3+185x4+10u1+9.9u2+ 9.8u3+9.7u4+7v1+7v2+6.8v3+6.7v4 约束条件 （1）飞机数量限制。4个月中执行飞行任务的飞机分别为100，150，150，200（架），但只有80，120，120，160（架）能够返回供下个月使用。 第1个月 100+y1=110 第2个月 150+y2=80+ y1+ x1 第3个月 150+y3=120+ y2+ x2 第4个月 200+y4=120+ y3+ x3 （2）飞行员数量限制。4个月中执行飞行任务的熟练飞行员分别分别为300，450，450，600（人），但只有240，360，360，480（人）能够返回（下个月一定休假）。 第1个月 300 +0.05u1 +v1=330 第2个月 450+ 0.05u2 +v2 =u1+ v1 第3个月 450+ 0.05u3 +v3 =u2+ v2+240 第4个月 600+ 0.05u4 +v4 =u3+ v3+360 数学模型 Min z =200x1+195x2+190x3+185x4+10u1+9.9u2+ 9.8u3+9.7u4+7v1