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第一讲：函数与数列的极限的强化练习题答案 一、单项选择题 1．下面函数与为同一函数的是（ ） 解：，且定义域， ∴选D 2．已知是的反函数，则的反函数是（ ） 解:令反解出：互换，位置得反函数，选A 3．设在有定义，则下列函数为奇函数的是（ ） 解：的定义域且∴选C 4．下列函数在内无界的是（ ） 解: 排除法：A 有界，B有界，C 故选D 5．数列有界是存在的（ ） A 必要条件 B 充分条件 C 充分必要条件 D 无关条件 解：收敛时，数列有界（即），反之不成立，（如有界，但不收敛， 选A 6．当时，与为等价无穷小，则= （ ） A B 1 C 2 D -2 解：， 选C 二、填空题（每小题4分，共24分） 7．设，则的定义域为 解： ∵ ∴定义域为 8．设 则 解：（1）令 （2） 9．函数的反函数是 解：（1），反解出： （2）互换位置，得反函数 10． 解：原式 11．若 则 解：左式= 故 12．= 解：当时，～ ∴原式== 三、计算题（每小题8分，共64分） 13．求函数的定义域 解： ∴函数的定义域为 14．设 求 解： 故 15．设，的反函数，求 解: （1） 求 ∴反解出： 互换位置得 (2) 16．判别的奇偶性。 解法（1）：的定义域，关于原点对称 为奇函数 解法（2）： 故为奇函数 17．已知为偶函数，为奇函数，且，求及 解： 已知 即有 得 故 得 故 18．设，求的值。 解： 故 19．求 解：（1）拆项， （2）原式= 20．设 求 解： 原式= 四、综合题（每小题10分，共20分） 21．设=，求= 并讨论的奇偶性与有界性。 解：（1）求 （2）讨论的奇偶性 为奇函数 （3）讨论的有界性 有界 22．从一块半径为R的圆铁片上挖去一个扇形，把留下的中心角为的扇形做成一个漏斗（如图），试将漏斗的容积V表示成中心角的函数。 解：（1）列出函数关系式，设漏斗高为，底半径为，依题意：漏斗容积V= 故 （2）函数的定义域 故 五、证明题（每小题9分，共18分） 23．设为定义在的任意函数，证明可表示为一个偶函数与一个奇函数之和。 证：(1) (2)令 为偶函数 (3)令 为奇函数 （4）综上所述：偶函数+奇函数 24 设满足函数方程2+ =，证明为奇函数。 证：（1） 令 函数与自变量的记号无关 （2）消去，求出 （3）的定义域 又 为奇函数 ＊选做题 1已知，求 解: 且 ∴由夹逼定理知，原式 2 若对于任意的，函数满足：，证明为奇函数。 解 (1)求：令 (2)令 为奇函数 第二讲：函数的极限与洛必达法则的强化练习题答案 一、单项选择题（每小题4分，共24分） 1． 下列极限正确的（ ） A． B． 不存在 C． D． 解： 选C 注： 2． 下列极限正确的是（ ） A． B． C． D． 解： 选A 注： 3． 若，，则下列正确的是 （ ） A． B． C． D． 解： 选D 4．若， 则 （ ） A．3 B． C．2 D． 解： 选B 5．设且存在，则= （ ） A．-1 B．0 C．1 D．2 解： 　　　　　　选C 6．当时，是比高阶无穷小，则 （ ） A． B． C．为任意实数 D． 解： 故选A 二 、填空题（每小题4分，共24分） 7． 解：原式 8． 解：原式 9． 解：原式 10．已知存在， 则= 解： 11． 解：又 故 原式=1 12．若 且,则正整数= 解： 故 三、计算题（每小题8分，共64分） 13．求 解： 原式= 原式 14．求 解：原式 15