3-2-4 (10年秋)分式的恒等变形题库教师版.doc

一、化分式为部分分式的和 下面的等式成立：，求、. 【考点】【难度】4星 【题型】解答 【关键词】第届华罗庚金杯决赛 【解析】， 故有，，所以，. 【答案】，. 若代数式恰好能分解为两个二次整式的乘积(其中二次项系数均为1，且一次项系数相同)，则的最大值是 . 【考点】【难度】4星 【题型】填空 【关键词】 【解析】设原式可分解为，展开可得： . 比较等号两边的系数可得： 故，最大值为1. 【答案】1 若，求、的值. 【考点】【难度】5星 【题型】解答 【关键词】 【解析】，所以，所以 【答案】 已知正整数满足，则的最值是 ． 【考点】【难度】4星 【题型】填空 【关键词】 【解析】略． 【答案】 已知与的和等于，求，. 【考点】【难度】3星 【题型】解答 【关键词】06年，宁波市重点中学，自主招生试题 【解析】 所以，解得 【答案】 若对于以外的一切数，均成立，求. 【考点】【难度】4星 【题型】解答 【关键词】 【解析】 所以，解得，所以 【答案】 若关于的恒等式中，为最简分式，且有，， 求. 【考点】【难度】5星 【题型】解答 【关键词】 【解析】，所以， 利用配方思想解得：或，∵，∴，∴ 【答案】 将化为部分分式. 【考点】【难度】4星 【题型】解答 【关键词】 【解析】∵, 　故设. 　∵ 　∴ 　比较两边分子对应项的系数，得 　 解之得 　∴. 【答案】 化为部分分式． 【考点】【难度】4星 【题型】解答 【关键词】 【解析】设， 　通分后比较对应项的系数，得 　解得，∴. 【答案】 将下列分式写成部分分式的和的形式：. 【考点】【难度】4星 【题型】解答 【关键词】 【解析】因为，所以我们假设其具有的形式.两边同时乘， 得：. 　　　　比较同次幂的系数可得 　　　　解得，，从而. 【答案】 将下列分式写成部分分式的和的形式：. 【考点】【难度】4星 【题型】解答 【关键词】 【解析】因为，故可假设其具有的形式，则有： . 比较和的系数，可得方程组从而 因此． 【答案】 将下列分式写成部分分式的和的形式：. 【考点】【难度】5星 【题型】解答 【关键词】 【解析】首先我们要仔细观察分母的结构，根据前面所提及的知识，此处可以设部分分式的和的形式为. 　　　　通分之后，两边的分子应该相等.即： 　　　　. 　　　　令，得到；令，得到；令，得到；比较的系数，得到 　　　　.于是: 　　　　. 【点评】请注意，除非万不得已，要尽量避免将右边的式子全部展开之后再与左边的式子比较系数，这种方法会占用大家不少时间，并且可能会造成错误. 【答案】 计算：． 【考点】【难度】4星 【题型】解答 【关键词】 【解析】设+． 　解之得 　∴. 　同理：，． 　　　　∴原式+++． 【答案】0 将下列分式写成部分分式的和的形式：. 【考点】【难度】4星 【题型】解答 【关键词】 【解析】观察分母的结构，我们可以设. 　　　　通分之后比较分子，可得： 　　　　. 　　　　令，得到，即； 　　　　令，得到，即； 　　　　令，得到,即； 　　　　令，得到,即； 　　　　令，得到，即； 　　　　由此解得． 　　 从而． 【答案】 二、分式的恒等证明 求证： 【考点】【难度】4星 【题型】解答 【关键词】1994年，广东潮州市初中数学竞赛 【解析】略 【答案】左边 右边。 已知、、为三个不相等的实数，且，求证：. 【考点】【难度】5星 【题型】解答 【关键词】 【解析】略 【答案】由，得，故，同理可得，， 故 已知：，求证：. 【考点】【难度】5星 【题型】解答 【关键词】 【解析】略 【答案】由得，故，， 若，，，求证： 【考点】【难度】5星 【题型】解答 【关键词】 【解析】略 【答案】 若，求证：. 【考点】【难度】5星 【题型】解答 【关键词】 【解析】略 【答案】解法1：因为，故，，. 　　　　则 　　　　， 　　　　注意到，故上式. 　　　　解法2：因为，故，，. 则 . 解法3：由可得， 则 . 点评：使用各种各样的代入方法进行化简，题目赋予的信息要充分利用.三种解法的思想是一样的，但是细微之处需要大家用心揣摩，尤其是“”在其中的使用，更是值得细细品味. 当然，我们也可以通分后再代入计算，但是存在一个问题——过于烦琐，有兴趣的学生可以尝试一下这种思路． 已知，求证：. 【考点】【难度】5星 【题型】解答 【关键词】2003年，第1届“创新杯”数学邀请赛初中二年级第二试试题 【解析】略 【答案】， 即，故， 则，故. 等式两边同时除以，可得， 进而，则， 故，从而， 故，展开并化简，可得， 即，从而，故. 　　　　点评：本题的证明过程非常复杂，其中有一个步骤很关