4-1(10年秋)实数基本概念及化简题库教师版.doc

内容 基本要求 略高要求 较高要求 平方根、算术平方根 了解平方根及算术平方根的概念，会用根号表示非负数的平方根及算术平方根 会用平方运算求某些非负数的平方根 立方根 了解立方根的概念，会用根号表示数的立方根 会用立方根运算求某些数的立方根 实数 了解实数的概念 会进行简单的实数运算 二次根式及其性质 了解二次根式的概念，会确定二次根式有意义的条件 会运用二次根式的性质进行化简，能根据二次根式的性质对代数式做简单变型，在给定条件下，确定字母的值 板块一 平方根、立方根、实数 实数可按下图进行详细分类： 实数与数轴上的点一一对应. (以下概念均在实数域范围内讨论) 平方根的定义及表示方法： 如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根． 也就是说，若，则就叫做的平方根． 一个非负数的平方根可用符号表示为“”． 算术平方根： 一个正数有两个互为相反数的平方根，其中正的平方根叫做的算术平方根，可用符号表示为“”；有一个平方根，就是，的算术平方根也是，负数没有平方根，当然也没有算术平方根.（负数的平方根在实数域内不存在，具体内容高中将进学习研究） 一个非负数的平方根不一定是非负数，但它的算术平方根一定是非负数，即若，则. 平方根的计算： 求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方． 开平方与平方是互逆运算，可以通过平方运算来求一个数的平方根或算术平方根，以及检验一个数是不是另一个数的平方根或算术平方根． 通过验算我们可以知道： ⑴当被开方数扩大(或缩小)倍，它的算术平方根相应地扩大(或缩小)倍()． ⑵平方根和算术平方根与被开方数之间的关系： ①若，则；②不管为何值，总有 注意二者之间的区别及联系． ⑶若一个非负数介于另外两个非负数、之间，即时，它的算术平方根也介于、 之间，即：利用这个结论我们可以来估算一个非负数的算术平方根的大致范围． 立方根的定义及表示方法： 如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根，也就是说，若则就叫做的立方根， 一个数的立方根可用符号表“”，其中“”叫做根指数，不能省略. 前面学习的“”其实省略了根指数“”，即：也可以表示为. 读作“三次根号”，读作“二次根号”，读作“根号”. 任何一个数都有立方根，且只有一个立方根， 正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，的立方根为. 立方根的计算： 求一个数的立方根的运算，叫做开立方，开立方与立方是互逆运算，可以通过立方运算来求一个数的立方根，以及检验一个数是不是另一个数的立方根． 通过归纳我们可以知道： ⑴当被开方数(大于0)扩大(或缩小)倍，它的立方根相应地扩大(或缩小)倍． ⑵， ⑶若一个数介于另外两个数、之间，即， 它的立方根也介于和之间，即 利用这个结论我们可以来估算一个数的立方根的大致范围． 一、实数的概念 在实数中无理数的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【考点】实数及其分类 【难度】1星 【题型】选择 【关键词】2009年，义乌市中考试题 【解析】略 【答案】B 这7个实数中，无理数的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【考点】【难度】2星 【题型】选择 【关键词】1983年，河北省初中数学竞赛试题 【解析】是无理数。 【答案】D 有一个数值转换器原理如图所示，则当输入为64时，输出的是（ ） A．8 B． C． D． 【考点】【难度】2星 【题型】选择 【关键词】 【解析】略 【答案】B 证明是无理数。 【考点】【难度】5星 【题型】解答 【关键词】竞赛，反证法 【解析】略 【答案】用反证法。假设不是无理数，则是有理数，设（是互质的正整数） 两边同时平方后，整理得，所以一定是偶数。 设（是自然数），代入上式得。 所以是也是偶数，与均为偶数和互质矛盾， 所以不是有理数，于是是无理数。 说明边长为1的正方形的对角线的长度为。 【解析】如图1，四边形是边长为的正方形，它的面积为1，的面积为 将4个与一样大的三角形拼成一个正方形，它的面积是2，所以它的边长, 也就是说正方形的对角线长度为。 下面有四个命题： ①有理数与无理数之和是无理数． ②有理数与无理数之积是无理数． ③无理数与无理数之和是无理数． ④无理数与无理数之积是无理数． 请你判断哪些是正确的，哪些是不正确的，并说明理由。 【考点】【难度】3星 【题型】解答 【关键词】 【解析】设是有理数，是无理数． ①若，则，此式左边是无理数，右边是有理数，它是不成立的， 故是无理数。①正确。 ②当时，是有理数，②不正确 ③当时，是有理数，故③不正确 ④当时，是有