数学专业毕业论文近世代数参考.doc

群及其简单性质 摘　要：首先本文给出群的定义，继而讨论群的各种基本性质。并且讨论了一种很重要的群——循环群。本文的最后详细讲解了群同态的一些性质及其应用。 关键词：群、群的性质、循环群、群同态； Group and its simple properties Abstract：First the definition of group is given, and groups of all kinds of basic properties are discussed .and it discusses on an important group of cyclic group. at the end of this article some properties and applications of the group of homomorphism are discussed in detail. Key Words：group, the properties of group, cyclic group，group of homomorphism； 0 前言： 近世代数（modern algebra）又称为抽象代数（abstract algebra），它的研究对象是代数系统，所谓代数系统，是由一个集合和定义在这个集合中的一种或若干种运算所构成的一个系统。由于代数系统中运算个数以及对运算所要求的附加条件不同，从而产生了各种不同的代数系统，这就形成了近世代数各个不同的分支。其中最基本、最重要的分支是：群论、环论和域论，其中群论是基础。体系的性质取决于一些基本定律(如闭合律、结合律、交换律、分配律、零和单位元素、负和逆等)中有哪些成立。人们研究满足某些特定定律的抽象体系，而群是现代代数学中最基本、最重要的代数系，是一个非常活跃的领域，也是目前研究成果最丰富、研究最广泛的代数系。群，简而言之是对某种运算满足闭合律、结合律、单位元素和逆这些定律的代数系。这一代数系的提出，对于当代数学及其它领域有着不可估量的作用，是代数发展史上由古典代数进入近世代数的里程碑。 1 群的基本概念 1.1 群的定义 定义1 设G是一个非空集合，若在G上定义一个二元运算满足： (1)结合律：对，有。则称G是一个半群，记作。若还满足： (2)存在单位元使对，有； (3)对有逆元，使，则称是一个群。 当二元运算“”为通常的加法时，称为加法群或加群；当二元运算“”为通常的乘法时，称为乘法群或乘群。 定义中条件(2)可改为：有一个左单位元（或右单位元），使（或），对成立。因为由此可推出。 定义中条件(3)可改为：对，有一个左逆元（或右逆元），使（或）成立。因为由此可推出。 1.2 群定义的应用 定理1 半群是群的充要条件是：对，方程和在G中均有解。 定理2 半群是群的充要条件是左、右消去律都成立： ， 。 如果半群中含有单位元，则称为含幺半群。如果群适合交换律： 对，有，则称G为可换群或阿贝尔(Abel)群。 通常把群的定义概括为四点：封闭性、结合律、单位元和逆元。 如果一个群G是个有限集，则称G是有限群，否则称为无限群。G的元素个数称为群的阶。 例1：是整数模n的同余类集合，在中定义加法（称为模n的加法）为。 由于同余类的代表元有不同的选择，我们必须验证以上定义的运算结果与代表元的选择无关。设，，则有，所以模的加法是中的一个二元运算。显然，单位元是，，的逆元是。所以是群。 例2：设，在中定义乘法（称为模n的乘法）为。 对这个运算不仅需要检验它的唯一性，而且要检验它的封闭性，因为由，得出并不明显。 先证封闭性：因为由和，所以。 再证唯一性：设，，则有， 所以模n的乘法是中的一个二元运算。 结合律显然满足。单位元是。对，由知，使，因而有，即，所以，即中每一元素均有逆元。综上，对模n的乘法构成群。 的阶数为—欧拉函数：小于n并与n互素的正整数的个数。 1.3 群的基本性质 (1)群中单位元是唯一的 证明：设G中有两个单位元和，则有：，所以单位元是唯一的。 在不致混淆的情况下，单位元简记为1。 (2)群中每个元素的逆元是唯一的 证明：设，有两个逆元和，则有： ，所以的逆元是唯一的。 的逆元有以下性质： (1)； (2)若可逆，则也可逆，且有； 若可逆，则也可逆，且有。 2 子群 定义2 设S是群G的一个非空子集，若S对G的运算也构成群，则称S是G的一个子群，并记作：。 当且时，称S是G的真子群，记作。 定理3 设S是群G的一个非空子集，则以下三个命题互相等价： (ⅰ)S是G的子群； (ⅱ)对，有和； (ⅲ)对，有。 当然，若群的有限子集做成子群的充要条件是对的乘法封闭，即：有。事实上，必要性是显然的，下证充分性。设对的乘法封闭，则对