2011年第16届华杯赛决赛试题和答案_初中.doc

2011年第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决A （初中组） 一、填空题（每小题 10分, 共80分） 计算: = . 算式: 中的汉字代表0～9的数字, 相同的汉字代表相同的数字, 不同的汉字代表不同的数字, 所代表的四位数是 . 将个小球放入编号为的四个盒子中, 每个盒子中的小球数不小于盒子编号数, 种不同的放法． 有一列数, 第一个数是10, 第二个数是20, 从第三个数开始, 每个数都是前面所有数的平均数, 那么第2011个数是 . 设是有理数, , 则P的最小值为 . 1~22分别填在下面的“□”内（每个“□”只能填一个数）, 在形成的11个分数中, 分数值为整数的最多能有 个. 下面两串单项式各有2011个单项式: 其中为非负整数, 则这两串单项式中共有 对同类项. 3整除、被5除余2、被11除余4的所有这种正整数依照从小到大的顺序排成一列, 记为. 如果, 则等于 . 二、解答下列各题（每题10分, 共40分, 要求写出简要过程） 将9个各不相同的正整数填在3×3表格的格子中, 一个格子填一个数, 使得每个2×2子表格中四个数的和都恰好等于100. 求这9个正整数总和的最小值. 右图中, 平行四边形ABCD面积等于1, FBC上一点, ACDF交于E, 已知, 则三角形CEF设为非零自然数, , 且满足方程: . 问如图, 如果将梯形ABCD分割成 一个平行四边形ABCE和一个 三角形AED, AB=米, BC=米, CD=72米, AD=20米, 那么四边形ABCE，三角形AED，梯形ABCD的面积分别是多少平方米？ 三、解答下列各题（每小题 15分, 共30分, 要求写出详细过程） 在边长为1厘米的正方形ABCD中, 分别以A, B, C, D为圆心, 1厘米为半径画圆弧, 交点E, F, G, H, 如图所示. 求中间阴影六边形BEFDGH的面积. 已知, 是否存在整数使得为完全平方数？如果存在, 求出整数；若不存在, 请说明理由. 第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题A参考答案（初中组） 填空题 (每小题 10分，共80分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 8547 10 15 21 10 402 13 二、解答下列各题 (每题10分，共40分, 要求写出简要过程) 答案：121 答案 答案：4 答案：ABCE的面积是618(平方米) 三角形ADE的面积是266 (平方米) 梯形的ABCD面积是885(平方米) 三、解答下列各题 (每小题 15分，共30分，要求写出详细过程) 答：平方厘米. 解：如图，连接AF, AE, 则都是顶角为，两腰为1厘米的等腰三角形.其面积相等. 自点F作于P. 则因此 三角形ADF的面积 所以五边形ABEFD的面积=（平方厘米）. 同理， 五边形BCDGH的面积=（平方厘米）. 而正方形ABCD的面积为1平方厘米. 由面积重叠原理可知，重叠部分为阴影六边形BEFDGH，它的面积为 （平方厘米）. 答案：不存在 解：若存在整数使得为完全平方数，则设存在正整数使得， . 因为，所以. 所以. 所以. 即. 因为与的奇偶性相同，且2是偶数，所以与都是偶数. 因为是4的倍数，但是2不是4的倍数，矛盾！ 所以不存在整数使得为完全平方数. - 1 - 图2 图1