2.5.2 无穷小的比较.ppt

第五(2)节 例3. 证明: 当 定理1. 内容小结 * 第二章 二、思考与练习 一、无穷小的比较 无穷小的比较 例如, 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同. 不可比. 观察各极限 一、无穷小的比较 定义: 记作?=O(?)或 ?=O(?) 注 1：高阶无穷小不具有等价代换性，即： ，但 因为 不是一个量，而是高阶无穷小的记号； 3：未必任意两个无穷小量都可进行比较，例如 时， 与 既非同阶，又无高低阶可比较，因为 不存在； 2：等价无穷小具有传递性：即 例1 例２ 解 时, ～ 证: ～ 常用等价无穷小: 例4 证 证毕 ～ ～ 证: 即 即 意义：用等价无穷小可给出函数的近似表达式． 例如, 例5 解 定理2 (等价无穷小替换定理) 证 注 可利用这条性质简化一些极限的计算：求极限时，分子、分母中的因子可用等价无穷小替换（替换后极限情况不变）。 例6 解 注 若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换，而不会改变原式的极限． 例7 解 例8 解 解 错 注意：只可对乘积中的无穷小因子作等价无穷小代换，对于代数和中各无穷小项不能作等价无穷小代换（但是，可以象例5中那样利用等价无穷小）. 例9 解 例10 注 对无穷大量也可以比较它们趋于无穷大的速度，定义高（低、同）阶无穷大以及等价无穷大；也可以进行等价无穷大替换。 几个常用的无穷大按阶从低到高排列为： 1. 无穷小的比较 设 ? , ? 对同一自变量的变化过程为无穷小, 且 ? 是 ? 的高阶无穷小 ? 是 ? 的低阶无穷小 ? 是 ? 的同阶无穷小 ? 是 ? 的等价无穷小 ? 是 ? 的 k 阶无穷小 *