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圆锥曲线经典 新泰一中 闫辉 (一）和中垂线有关的题目 例1.已知椭圆过点，且离心率。 （Ⅰ）求椭圆方程； （Ⅱ）若直线与椭圆交于不同的两点、，且线段的垂直平分线过定点，求的取值范围。 解：（Ⅰ）离心率，，即（1）； 又椭圆过点，则，（1）式代入上式，解得，，椭圆方程为。 （Ⅱ）设，弦MN的中点A 由得：， 直线与椭圆交于不同的两点， ，即………………（1） 由韦达定理得：， 则， 直线AG的斜率为：， 由直线AG和直线MN垂直可得：，即，代入（1）式，可得，即，则。 老师支招：如果只说一条直线和椭圆相交，没有说直线过点或没给出直线的斜率，就直接设直线的方程为：，再和曲线联立，转化成一元二次方程，就能找到解决问题的门路。本题解决过程中运用了两大解题技巧：与韦达定理有关的同类坐标变换技巧，与点的纵、横坐标有关的同点纵横坐标变换技巧。解决直线和圆锥曲线的问题的关键就是充分、灵活的运用这两大解题技巧。 (二)动弦过定点的问题 例2.直线和抛物线相交于A、B，以AB为直径的圆过抛物线的顶点，证明：直线过定点，并求定点的坐标。 分析：以AB为直径的圆过抛物线的顶点O，则OAOB，若设，则，再通过，将条件转化为，再通过直线和抛物线联立，计算判别式后，可以得到，，解出k、m的等式，就可以了。 解：设，由得，，（这里消x得到的） 则………………（1） 由韦达定理，得：， 则， 以AB为直径的圆过抛物线的顶点O，则OAOB，即， 可得，则， 即，又，则，且使（1）成立， 此时，直线恒过点。 名师指点：这个题是课本上的很经典的题，例题5、（07山东理）就是在这个题的基础上，由出题人迁移得到的，解题思维都是一样的.本题解决过程中，有一个消元技巧，就是直线和抛物线联立时，要消去一次项，计算量小一些，也运用了同类坐标变换——韦达定理，同点纵、横坐标变换-------直线方程的纵坐标表示横坐标。其实解析几何就这么点知识，你发现了吗？ 例3.（07山东理）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3；最小值为1； （Ⅰ）求椭圆C的标准方程； （Ⅱ）若直线与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点。求证：直线过定点，并求出该定点的坐标。 分析：第一问，是待定系数法求椭圆的标准方程；第二问，直线与椭圆C相交于A，B两点，并且椭圆的右顶点和A、B的连线互相垂直，证明直线过定点，就是通过垂直建立k、m的一次函数关系。 解（I）由题意设椭圆的标准方程为 ， （II）设，由得 ， ， （注意：这一步是同类坐标变换） （注意：这一步叫同点纵、横坐标间的变换） 以AB为直径的圆过椭圆的右顶点且， ，， ， ，解得 ，且满足 当时，，直线过定点与已知矛盾； 当时，，直线过定点 综上可知，直线过定点，定点坐标为 名师经验：在直线和圆锥曲线的位置关系题中，以弦为直径的圆经过某个点，就是“弦对定点张直角”，也就是定点和弦的两端点连线互相垂直，得斜率之积为，建立等式。直线不过定点，也不知道斜率，设出，是经常用的一招，在第二讲中就遇到了这样设的直线。 例4.已知椭圆C：的离心率为，且在x轴上的顶点分别为A1(-2,0),A2(2,0)。（I）求椭圆的方程；（II）若直线与x轴交于点T,点P为直线上异于点T的任一点，直线PA1,PA2分别与椭圆交于M、N点，试问直线MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论。分析：第一问是待定系数法求轨迹方程；第二问中，点A1、A2的坐标都知道，可以设直线PA1、PA2的方程，直线PA1和椭圆交点是A1(-2,0)和M，通过韦达定理，可以求出点M的坐标，同理可以求出点N的坐标。动点P在直线上，相当于知道了点P的横坐标了，由直线PA1、PA2的方程可以求出P点的纵坐标，得到两条直线的斜率的关系，通过所求的M、N点的坐标，求出直线MN的方程，将交点的坐标代入，如果解出的t2，就可以了，否则就不存在。 解：（I）由已知椭圆C的离心率，,则得。从而椭圆的方程为（II）设，，直线的斜率为,则直线的方程为，由消y整理得是方程的两个根，则，，即点M的坐标为，同理，设直线A2N的斜率为k2，则得点N的坐标为，直线MN的方程为：，令y=0，得，将点M、N的坐标代入，化简后得：又，椭圆的焦点为，即故当时，MN过椭圆的焦点。方法总结：本题由点A1(-2,0)的横坐标－2是方程的一个根，结合韦达定理运用同类坐标变换，得到点M的横坐标：， 再利用直线A1M的方程通过同点的坐标变换，得点M的纵坐标：； 其实由消y整理得，得到，即，很快。 不过如果看到