2-条件极值.pptVIP

§15.2 条件极值 * * * 在讨论极值问题时，往往会遇到这样一种情形，那就是函数的自变量要受到某些条件的限制.例如,决定一给定点 到一曲面 的最短距离的问题就是这种情形.我们知道点 到点 的距离平方为 . 现在的问题就是要求出曲面 上的点 使 最小.因此,问题可以归结为求函数 在条件 的限制下的最小值问题. 又如,在总和为 的 个正数 的数组中,求一组数,使函数值 最小,这也是在条件 的限制下,求函数 的极小值问题. 这类问题叫做条件极值问题(或限制极值问题).现在先来讨论以下情况. 设函数 具有对各个变元的连续偏导数,而这些变元 之间又受到以下条件的限制: 其中函数 和 都具有对各个变元的连续偏导数,并且它们的雅可比行列式 我们要求函数 在限制条件 下的极值. 先来考虑极值的必要条件. 若函数 在某一点 达到极值,这里 满足限制条件.设想从方程组 中将 解出来,亦即 那么问题就化为考察函数 的直接极值,而它的必要条件为在极值点处函数 的全微分为零.再由一阶微分形式的不变性,得必要条件为 但要注意,在这里变元 之间并非相互独立变化的,而是有条件限制.因此,它们的微分之间也将满足一定的关系,这个关系只要将限制条件 及 求微分, 这样我们就得到,若函数在某点 达到条件极值,那么在这一点 上应同时满足三个微分关系式 很自然会想到这样一个办法,那就是从两个限制条件中解出两个变量,例如解出 代入 中,成为两个变量 和 的函数,然后就利用上节方法求出极值.这样做虽然在理论上说得通,但实际 做起来却却往往较为复杂甚至是做不到的.因此,一般采用以下的方法,叫做拉格朗日乘数法. 以 分别乘 式再相加,得 称为拉格朗日乘数,也称为待定乘数.由于 总能求得不全为零的 和 使 这时, 式化为 由于 和 是相互独立的,要使上式成立,必须 可见，如果函数 在某点 达到条件极值，则在该点处应满足六个关系式 及 现在引入函数 ，称它为拉格朗日函数： 我们知道，函数 存在极值的必要条件为 这正好就是方程 .从这四个方面再加 和 ,可解出函数 的可能有条件极值点 及待定乘数 .这里可以看到,利用拉格朗日乘数法,就将求函数 的条件极值问题化为求函数 的极值问题.这就是说,为了找出 的所有可能的条件极值点 ,首先作出拉格朗日函数 ,再由 连同限制条件 解出 及 ,这里 就是使 可能达到极值的点. 下面进一步讨论充分条件.设从方程组 中