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2010年竞赛选拔考试试题答案
2010年参赛选手选拔考试试题答案
1．已知当时，函数与是等价无穷小，求常数的值，并求极限．（8分）
解 (1) ，
所以 ，．
(2)
．
2．求．（8分）
解
．
3．求．（8分）
解 ．
4．设，，求．（8分）
解 令，，则
．
故 ，．
于是，．
5．设，在上连续，在内可导，且，证明：存在，使得．（8分）
证 因为在上连续，且，故据零点定理，存在，使得．
令．则在上连续，在内可导，且由得．据Rolle定理，存在，使，即，
也即．
6．已知，，求．（8分）
解
7．设在处连续，且，试证明在 处可导，并求．（8分）
解，
所以 ．于是，
．
因为，
所以，因此，在处可导，且．
8．设函数在点的某一邻域内可导，且，，求：
．（8分）
解
＝．
9．设曲线与轴、轴所围图形被曲线，分成面积相等的三部分，试求常数的值．（8分）
解 设曲线与，的交点分别为，，则，．于是，
，；
，．
由题设得
．
10．设在上连续，且，证明：
． （8分）
证 令，则
，故在上单调增加，从而，即
．
由于，故，即
，
故，从而．于是，
，
即 ．
综上得，．
11.．求不定积分：(1) ；(2) ．（共10分）
解 (1)
＝
．
(2)
．
12．设在内连续，在处可导，且，当时，，，求．（10分）
解 （1）当时，
＝
（2）当时，
＝
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