第4章 微分中值定理和导数应用(答案).doc

^项 目^：综合练习（答案） ^章 节^：第四章 微分中值定理与导数应用 一、填空题（14％） 1．函数在闭区间上满足拉格朗日中值定理的___2__. 解：. 2．函数在区间____内单调递减，在_______内单调递增. 解：. 3．已知函数在点处取得极大值2，则 __-1___,__1___. 解： 4．若在上连续，且在内恒有，则在上的最大值为______. 解：在内恒有在内单调增加，所以最大值为. 5.某商品的需求量与价格的函数关系为其中和为常数，且，则需求量对价格 的弹性是_________.解：，按定义便得所求值为 二、选择题（15％） 1．下列函数中在上满足罗尔定理所有条件的是 ( D ). A) B) C) D) 解：A) 在处无定义；B) 在处不可导； C) 在处无定义；D) 满足罗尔定理. 2．下列极限能使用洛必达法则的是（ B ）. A) B) C) D) 解：A) 是不存在的（也不为），不能使用洛必达法则； C) 是不存在的（也不为），不能使用洛必达法则； D) B) 3．若在点处取得极大值，则必有（ D ）. A) B) C) ，且 D) 或不存在 解：极值的可能点为使或不存在的点. 4．函数在区间上的最大值为（ A ） A、0 B、12 C、-4 D、4 5．曲线 （ D ）. A)仅有水平渐近线 B) 仅有铅直渐近线 C) 既有铅直又有水平渐近线 D) 既有铅直又有斜渐近线 解：没有水平渐近线； ，为铅直渐近线； ， 为斜渐近线. 三、计算题（51％） 1.求下列极限：（1） 解：原式 （2） 解：原式 （3） 解：原式， （因为 .） 2.已知函数，求其单调区间，极值点及图形的凹凸性、拐点和渐近线，并画出函数的图形.（16%） 解：1）函数的定义域为 2），令，得 . 令，得. 3）列表如下： - - 0 + - - 0 + + + + 单调减少 单调减少 单调增加 单调减少 向上凸 拐点 向上凹 极小值0 向上凹 向上凹 4）知为图形的水平渐近线， 知为图形的铅直渐近线. 5）函数图像见右图， 四、应用题与证明题（20％） 1．证明不等式：. .（7%） 证法1 令，并在区间上对其用拉格朗日中值定理，有 其中. 因此，对任意，有 证法2 记，则，， 函数在内单调减少.由于 故对于任意，，即 2.已知某厂生产件产品的成本为 元， 问：（1）要使平均成本最小，应生产多少件产品？ （2）若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？ （13%） 解：（1）设平均成本为，则， 由，得（舍去）. 因为所以当时，取得极小值，即最小值， 因此，要使平均成本最小，应生产1000件产品. （2）利润函数为， 由，得.因 所以当时，取得极大值，即最大值，因此，要使利润最大，应生产6000件产品.