几何证明中一类辅助线的妙用.doc

几何证明中一类辅助线的妙用 引辅助线是几何证明中常用的一种手段，添加恰当的辅助线能为寻求证明方法提供有效的帮助。 一般情况下，辅助线的引出是有一定规律的。下面仅就“直角三角形斜边上中线等于斜边的一半”这一定理加以说明。 一、证明线段垂直或相等 证明两条线段的垂直有许多方法，就目前所学的知识来说，添加辅助线运后用等腰三角形的“三线合一性”是一种较为常见的做法。 【】中， 分别是、的中点. 求证： 分析：由于分别是和斜边上中点，因此，若连结，则由“直角三角形斜边上中线等于斜边的一半”这一 定理可知 ，即为等腰三角形，再由为边中点可知 。 说明：直角三角形中已知斜边中点，则添加斜边上的中线是常见的辅助线。 【】1、如图：，//. 求证：. 分析：因为不在同一个三角形中，所以，欲证，可利用全等三角形，也可利用平行四边形来证。但本题图形中没有现成的两个非直角三角形，也没有现成的四边形，因此，可考虑添加辅助线。再证全等，问题就可以解决了。 2、已知：如图，四边形的对角线相交于点，，分别为的中点.求证：. 分析：要证明线段，可考虑线段、所在的两个三角形全等，但已知条件显然排除了这种可能。由已知条件可知均为等腰三角形，且、为中点，因此，想到等腰三角形的“三线合一性”。连结、，则均为直角三角形。又知为斜边的中点，可知为斜边上中线，从而使问题获证。 说明：（1）本题的关键是运用等腰三角形的“三线合一性”构造直角三角形，进而应用“直角三角形斜边上中线等于斜边的一半”这一定理使问题得到解决。 （2）若【】，而其它条件不变，那么的位置关系如何？ 二、证明线段的倍分问题 证明线段的倍分问题是学生必备的基本能力之一，一般方法是加倍（延长法）或是取半（截取法），但如在题目条件中具有直角三角形，则可挖掘斜边中点这一隐含的条件，往往是一个好的办法。 【】已知：如图，在直角三角形中，，//，，且 求证： 分析：由于//，可知三角形是直角三角形。可取线段，并连结，则，因此，欲证，可证即可。这可利用已知条件证得，于是问题获证。 说明：本题辅助线的添法实质是是取半（截取法）。 【】中， . 求证：. 提示：本题方法与例题实质相同，只要抓住它们的共同特征就可以了。 小结：通过上述问题的解决可以知道，添加恰当的辅助线对研究几何合问题是十分有帮助的。不同的题目有不同的添加方法，但只要加强基础知识的理解，经过一段知识的积累，定会悟出其中的道理。