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2013年排列于组合性质
排列组合性质与公式
1.排列的概念:从个不同元素中,任取()个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列,叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列
2.排列数的定义:从个不同元素中,任取()个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数,用符号表示
3.排列数公式:()
4 阶乘:表示正整数1到的连乘积,叫做的阶乘规定.
5.排列数的另一个计算公式:=
6 组合的概念:一般地,从个不同元素中取出个元素并成一组,叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合
7.组合数的概念:从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数,叫做从 个不同元素中取出个元素的组合数.用符号表示.
8.组合数公式:
或
9 组合数的性质1:.规定:;
10.组合数的性质2:=+
高中数学复习专题:讲座排列、组合的应用问题
高考要求
排列、组合是每年高考必定考查的内容之一,纵观全国高考数学题,每年都有1~2道排列组合题,考查排列组合的基础知识、思维能力
重难点归纳
1 排列与组合的应用题,是高考常见题型,其中主要考查有附加条件的应用问题 解决这类问题通常有三种途径 (1)以元素为主,应先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素 (2)以位置为主考虑,即先满足特殊位置的要求,再考虑其他位置 (3)先不考虑附加条件,计算出排列或组合数,再减去不符合要求的排列数或组合数 前两种方式叫直接解法,后一种方式叫间接(剔除)解法
2 在求解排列与组合应用问题时,应注意
(1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题;
(2)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理;
(3)分析题目条件,避免“选取”时重复和遗漏;
(4)列出式子计算和作答
3 解排列与组合应用题常用的方法有 直接计算法与间接(剔除)计算法;分类法与分步法;元素分析法和位置分析法;插空法和捆绑法等八种
4 经常运用的数学思想是
①分类讨论思想;②转化思想;③对称思想
典型题例示范讲解
例1在∠AOB的OA边上取m个点,在OB边上取n个点(均除O点外),连同O点共m+n+1个点,现任取其中三个点为顶点作三角形,可作的三角形有( )
命题意图 考查组合的概念及加法原理
知识依托 法一分成三类方法;法二,间接法,去掉三点共线的组合
错解分析 A中含有构不成三角形的组合,如 CC中,包括O、Bi、Bj;CC中,包含O、Ap、Aq,其中Ap、Aq,Bi、Bj分别表示OA、OB边上不同于O的点;B漏掉△AiOBj;D有重复的三角形 如CC中有△AiOBj,CC中也有△AiOBj
技巧与方法 分类讨论思想及间接法
解法一 第一类办法 从OA边上(不包括O)中任取一点与从OB边上(不包括O)中任取两点,可构造一个三角形,有CC个;第二类办法 从OA边上(不包括O)中任取两点与OB边上(不包括O)中任取一点,与O点可构造一个三角形,有CC个;第三类办法 从OA边上(不包括O)任取一点与OB边上(不包括O)中任取一点,与O点可构造一个三角形,有CC个 由加法原理共有N=CC+CC+CC个三角形
解法二 从m+n+1中任取三点共有C个,其中三点均在射线OA(包括O点),有C个,三点均在射线OB(包括O点),有C个 所以,个数为N=C-C-C个
答案 C
例2四名优等生保送到三所学校去,每所学校至少得一名,则不同的保送方案的总数是_________
命题意图 本题主要考查排列、组合、乘法原理概念,以及灵活应用上述概念处理数学问题的能力
知识依托 排列、组合、乘法原理的概念
错解分析 根据题目要求每所学校至少接纳一位优等生,常采用先安排每学校一人,而后将剩的一人送到一所学校,故有3A种 忽略此种办法是 将同在一所学校的两名学生按进入学校的前后顺序,分为两种方案,而实际题目中对进入同一所学校的两名学生是无顺序要求的
技巧与方法 解法一,采用处理分堆问题的方法 解法二,分两次安排优等生,但是进入同一所学校的两名优等生是不考虑顺序的
解法一 分两步 先将四名优等生分成2,1,1三组,共有C种;而后,对三组学生安排三所学校,即进行全排列,有A33种 依乘法原理,共有N=C =36(种)
解法二 分两步 从每个学校至少有一名学生,每人进一所学校,共有A种;而后,再将剩余的一名学生送到三所学校中的一所学校,有3种 值得注意的是 同在一所学校的两名学生是不考虑进入的前后顺序的 因此,共有N=A·3=36(种)
答案 36
例3有五张卡片,它们的正、反面分别写0与1,2与3,4与5,6与7,8与9,将其中任意三张并排放在一起组成三位数,共可组成多少个不同的三位数
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