24.1.2. 垂径定理.ppt

赵州石拱桥 1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m). 垂径定理三种语言 再逛赵州石拱桥 * * . 1、填空： （1）根据圆的定义，“圆”指的是“ ”，是 线，而不是“圆面”。 （2）圆心和半径是确定一个圆的两个必需条件，圆心决定圆的 ，半径决定圆的 ，二者缺一不可。 （3）同一个圆的半径 相等。 圆周 位置 大小 曲 处处 2.什么是弦？直径与弦有什么关系？ 3.什么是弧？弧有哪几种？如何表示弧？ 赵州桥原名安济桥，俗称大石桥，建于隋炀帝大业年间（595-605年），至今已有1400年的历史，是今天世界上最古老的石拱桥。上面修成平坦的桥面，以行车走人.赵州桥的特点是“敞肩式”，是石拱桥结构中最先进的一种。其设计者是隋朝匠师李春。它的桥身弧线优美，远眺犹如苍龙飞驾，又似长虹饮涧。尤其是栏板以及望栓上的浮雕。充分显示整个大桥堪称一件精美的艺术珍品，称得上是隋唐时代石雕艺术的精品。1991年被列为世界文化遗产. O A B 24.1.2 垂直于弦的直径 ———（垂径定理） 实践探究 　 把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？ 可以发现： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．　 ●O 如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E． （1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？ · O A B C D E 思考 （1）是轴对称图形．直径CD所在的直线是它的对称轴 （2） 线段： AE=BE ⌒ ⌒ 弧：ＡＣ＝ＢＣ　，ＡＤ＝ＢＤ ⌒ ⌒ ●O A B C D M└ CD⊥AB, 如图∵ CD是直径, ∴AM=BM, ⌒ ⌒ AC =BC, ⌒ ⌒ AD =BD. 条件 CD为直径 CD⊥AB CD平分弧ADB CD平分弦AB CD平分弧ACB 结论 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． 下列图形是否具备垂径定理的条件？ 是 不是 是 不是 O E D C A B 注意：定理中的两个条件（直径，垂直于弦）缺一不可！ 例1、已知：如图在⊙O中，弦AB的长是8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径 ? o A B E └ 解：联结OA，作OE⊥AB于E，则OE=3cm,AE=BE ∵AB=8cm ∴AE=4cm 在Rt中有OA= = =5cm ∴ ⊙O的半径为5cm 解后指出：从例2看出圆的半径OA，圆心到弦的垂线段OE及半弦长AE构成Rt△AOE.把垂径定理和勾股定理结合起来，解决这类问题就显得很容易了。 例2、如图在⊙O中，直径CD交弦AB于点E，AE=BE 求证：CD⊥AB， A B ? ? O C D E ? ? ? AD=BD,AC=BC ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 证明：联结AO、BO， ∵AO=BO ∴△AOB为等腰三角形 ∵AE=BE ∴CD⊥AB ∵CD是直径， ∴ 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，且平分弦所对的两条弧。 AD=BD,AC=BC ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 1.如图，水平放置的一个油管的截面半径为 13cm，其中有油部分油面宽AB=24cm，则截面上有油部分油面高CD= —————— 双基训练 半径、弦长、弓形的高、 圆心到弦的距离 知二求二 8cm O D C B A 2、如图为一圆弧形拱桥，半径OA = 10m，拱高为4m，求拱桥跨度AB的长。 3．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形． D · O A B C E 证明： ∴四边形ADOE为矩形， 又　∵AC=AB ∴ AE=AD ∴ 四边形ADOE为正方形. 方法归纳: 解决有关弦的问题时，经常连接半径；过圆心作一条与弦垂直的线段等辅助线，为应用垂径定理创造条件。 垂径定理经常和勾股定理结合使用。 E . A C D B O . A B O E 已知：如图１，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。 求证：AC＝BD。 . A C D B O 图１ P88 8 8cm 1．半径为4cm的⊙O中，弦AB=4cm, 那么圆心O到弦AB的距离是 。 2．⊙O的直径为10cm，圆心O到弦AB的