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一、矩阵的加法 二、矩阵数量乘法 三、矩阵的乘法 四、矩阵的其它运算 五、小结 思考题 思考题解答 * * 3.2 矩阵的运算 矩阵的加法 矩阵的数量乘法 矩阵的乘法 矩阵的转置 矩阵的其它运算 小结 思考题 １、定义 设有两个 矩阵 那么矩阵 与 的和记作 ，规定为 注意 只有当两个矩阵是同型矩阵时（阶数相同）， 才能进行加法运算. 例如 2、 矩阵加法的运算规律 1、定义 注意① 的负矩阵，相当于 注意②数与矩阵相乘与数与行列式相乘不同 2、矩阵数乘的运算规律 矩阵的加法与数乘运算合起来,统称为矩阵的线性运算. １、定义 并把此乘积记作 设 是一个 矩阵， 是一个 矩阵，那么规定矩阵 与矩阵 的乘积 是一个 矩阵 ，其中 例１ 例2 解 故 注意②不是任何两个矩阵都可以相乘，只有当左矩阵的列数等于右矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘； 注意① 乘积的第 行第 列的元素，是 的第 行 与 的第 列的元素，对应元素乘积之和； 注意③ 的行数分别为 的行数和 的列数； 注意④令 是方程组的矩阵表达形式 例如 不存在. 例如 注意 (一般)，若 ，则 可交换。 则 左乘 ， 右乘 。 (一般情况下，矩阵的乘法不满足交换律) 例如 注意：（一般）矩阵的乘法不满足消去律。 例如 注意：两个非零矩阵的乘积有可能为零矩阵。即 一般 ２、矩阵乘法的运算规律 （其中 为数）; 单位阵作用相当于“1” 注意① 次幂方阵 若 是 阶方阵，则 为 的 次幂，即 但是一般情况下 只有当 注意② 幂等方阵 注意③ 幂零方阵 不一定为零矩阵 例3 解矩阵方程： 解 定义 把矩阵 的行换成同序数的列得到的 新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作 . 例 １、转置矩阵 转置矩阵的运算性质 证明： 例4 已知 解法1 解法2 2、方阵的行列式 定义 由 阶方阵 的元素所构成的行列式， 叫做方阵 的行列式，记作 或 运算性质 定义 设 是 阶方阵，当 时，称 非奇异的 （或非退化的，可逆的），当 时，称 奇异的 （或退化的，不可逆的）。 定理 设 是 阶方阵，则 非奇异的充分必要 条件是 与 都非奇异。 例5 已知 为 阶方阵，且 是非奇异的，证明 非奇异 证明 因为 非奇异，所以 ，即 从而 ，即 是非奇异的。 矩阵运算 加法 数与矩阵相乘 矩阵与矩阵相乘 转置矩阵 方阵的行列式 　　（2）只有当第一个矩阵的列数等于第二个 矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘 不满足交换律. 　　（1）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能 进行加法运算. 注意 （3）矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同. 成立的充要条件是什么?