芝诺--四个经典的拟难.docx

Zenos paradoxes摘要：芝诺(Zero of Elea，前490-425)是古希腊爱利亚学派的代表人，他提出的四个拟难——二分法、阿基里斯追龟、飞箭、运动场，客观上把微积分中的离散和连续的对立统一惹人注目地摆了出来，其中“二分法”和“阿基里斯追龟”涉及无穷运算中收敛的无穷级数和有限的问题；“飞箭”则是一个典型的导数问题，运动的物体在每一时刻不仅有速度，而且还有加速度等；“运动场”明显地同运动的两个相反的方向即正负概念有关。下面则是四个拟难的详细介绍及分析。二分法“运动不存在。理由是：位移事物在达到目的地之前必须先抵达一半处。”即不可能在有限的时间内通过无限多个点。在你走完全程之前必须先走过给定距离的一半，为此又必须走过一半的一半，直至无穷。追龟说“一个跑得最快的人永远追不上一个跑得最慢的人，理由：因为追赶者首先必须跑到被追者的起跑点，因此走得慢的人永远领先。”阿基里斯(Achilles)，古希腊奥运会中的一名长跑冠军。即当阿基里斯到达乌龟的起跑点时，乌龟已经走在前面一小段路了，阿基里斯又必须赶过这一小段路，而乌龟又向前走了。这样，阿基里斯可无限接近它，但不能追到它。飞箭静止说“如果任何事物，当它是在一个和自己大小相同的空间里时(没有越出它)，它是静止着。如果位移的事物总是在‘现在’里占有这样一个空间，那么飞着的箭是不动的。”运动场悖论A A A A　A A A AB B B B→B B B BC C C C←C C C CAAAA为一排静止物体，而BBBB和CCCC分别代表以相同速度作相反方向运动的物体，当第一个B到达最末一个C的同时，最末一个C也达到了第一个B，这时第一个C已经经过了所有的B，而第一个B只经过了所有的A中的一半，因为经过每个物体的时间是相等的，所以一半时间和整个时间相等。分析：亚里士多德（Aristotle）批评芝诺在这里犯了错误“他主张一个事物不可能在有限的时间里通过无限的事物，或者分别地和无限的事物相接触。须知长度和时间被说成是“无限的”有两种涵义，并且一般地说，一切连续事物被说成是“无限的”都有两种涵义：或分起来的无限，或延伸上的无限。一方面，事物在有限的时间里不能和数量上无限的事物相接触，另一方面，却能和分起来无限的事物相接触，因为时间本身分起来也是无限的，因此，通过一个无限的事物是在无限的时间里而不是在有限的时间里进行的，和无限的事物接触是在无限数的而不是在有限数的现在上进行的。”亚里士多德曾明确地论证过“在时间里确有一种不可分的东西，我们把它称之为‘现在’．”于是问题的症结在于亚里士多德所说的不可分的“现在”究竟是什么？如果用区间表示时间，所谓“现在”是长度很短的线段呢，还是长度为零的严格的数学上的点？如果是前者，那么时间就是由“现在”组成的，飞箭就是不动的了．亚里士多德的意思显然是指后者。但按照亚里士多德对二分说的分析，线段(距离)被分割为和无限数的“现在”相对应的无限数的点。又按照二分法的含义，这里的无限是可数的，那么，由可数的无限个长度为零的点组成的线段，其长度必为零，这又矛盾了。因此，芝诺悖论揭示的是事物内部的稠密性和连续性之间的区别，是无限可分和有限长度之间的矛盾，亚里士多德没有能觉察到这一点，当然实际上没有能驳倒芝诺。