数学建模论文-基于交比不变性和针孔模型的数码相机系统标定精选.doc

基于交比不变性和针孔模型的数码相机系统标定 作者： 指导教师： 摘要 数码相机定位最常用的方法是双目定位，关键在于系统标定，即如何根据靶标圆心在两部相机像平面上像点的几何关系精确确定这两部相机的相对位置。本文就此问题做了较深入的研究并建立了数学模型。 问题一，首先证明了一般情况下，圆在像平面上的投影是椭圆，但圆心在像平面上的投影不一定是椭圆的形心。然后利用透视投影中的交比不变性原理，推导出了靶标上圆心在该相机像平面上像坐标的计算公式。 问题二，对题目给出的靶标5个圆的像，提取其边缘点并拟合成椭圆方程，根据几何方法或最小二乘法原理求出5个圆与像的5个椭圆的外部公切线等。对每个圆心，选择合适的4对对应点，利用问题一中得到的计算公式就可以求出其像坐标，并可通过选择其他的合适的四组4对对应点，对求出的值作平均，以提高计算精度。数据结果见下表。 椭圆号 (像素) (像素) (mm) (mm) (像素/mm) A 323 189 -50.00 -51.46 1577/417.2 B 423 197 -23.54 -49.47 1577/417.2 C 640 213 33.86 -45.23 1577/417.2 D 583 503 18.78 31.75 1577/417.2 E 291 496 -58.47 28.84 1577/417.2 问题三，利用数码相机成像的针孔模型，选取切点、角点等非圆心点及其在像平面的对应点，根据逆向投影的方法求解旋转矩阵和位移列向量，得到从世界坐标系到像素坐标系的变换矩阵，然后代入各圆心的世界坐标，求出其在像素坐标系中的坐标，并与利用交比不变性原理求得的数值比较，两者基本吻合，从而能判断出交比不变性原理求解圆心投影坐标的合理性与稳定性。数据结果见下表。 圆心 交比 针孔 最大误差 A (12,112,0) 855.3955 (322.8682,189.4981) (321.3317,188.1348) 1.5365 B (42,112,0) 875.5983 (422.9824,196.9999) (421.8996,195.8173) 1.1826 C (112,112,0) 922.7383 (639.9396,213.1568) (639.4324,212.4348) 0.722 D (122, 12,0) 996.6939 (582.7286,503.0003) (581.5996,502.8986) 1.129 E (12, 12,0) 929.3211 (284.5814,501.7867) (284.7196,501.58) 0.2067 问题四，在单相机的针孔模型基础上，以世界坐标系为中介，得到了两相机光心坐标系中的坐标变换关系，也就得到了标定两部固定相机相对位置的方法。 最后，分析了模型优缺点、给出模型推广等。 关键词：交比不变性，最小二乘法原理，针孔模型，系统标定，数码相机定位 问题重述 数码相机定位在交通监管（电子警察）等方面有广泛的应用。所谓数码相机定位是指用数码相机摄制物体的相片确定物体表面某些特征点的位置。最常用的定位方法是双目定位，即用两部相机来定位。对物体上一个特征点，用两部固定于不同位置的相机摄得物体的像，分别获得该点在两部相机像平面上的坐标。只要知道两部相机精确的相对位置，就可用几何的方法得到该特征点在固定一部相机的坐标系中的坐标，即确定了特征点的位置。于是对双目定位，精确地确定两部相机的相对位置就是关键，这一过程称为系统标定。 标定的一种做法是：在一块平板上画若干个点， 同时用这两部相机照相，分别得到这些点在它们像平面上的像点，利用这两组像点的几何关系就可以得到这两部相机的相对位置。然而，无论在物平面或像平面上我们都无法直接得到没有几何尺寸的“点”。实际的做法是在物平面上画若干个圆（称为靶标），它们的圆心就是几何的点了。而它们的像一般会变形，如图1所示，所以必须从靶标上的这些圆的像中把圆心的像精确地找到，标定就可实现。 有人设计靶标如下，取1个边长为100mm的正方形，分别以四个顶点（对应为A、C、D、E）为圆心，12mm为半径作圆。以AC边上距离A点30mm处的B为圆心，12mm为半径作圆。如图2所示。用一位置固定的数码相机摄得其像，如图3所示。 根据以上信息提出了以下问题： 建立数学模型和算法以确定靶标上圆的圆心在该相机像平面的像坐标, 这里坐标系原点取在该相机的光学中心平面平行于像平面； 对由图2、图3分别给出的靶标及其像，计算靶标上圆的圆心在像平面上的像坐标, 该相机的像距（即光学中心电荷耦合器件一种半导体装置，能够把光学影像转化为数字信号。CCD上植入的微小光敏物质称作像素。一块CCD上包含的