数学毕业论文_泰勒公式及其应用精选.doc

目录  泰勒公式及其应用 摘要：泰勒公式是把比较复杂的函数展开成多项式，解释函数方面给我们提供更好的方法.本文主要采用举例分析的方法介绍了泰勒公式在求极限、导数、近似计算、不等式的证明、界的估计等.证明定积分、不等式、求高阶导数在某点的数值方面的应用. 关键词：泰勒公式； 极限； 高阶导数； 不等式； 定积分.  引言：泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容，它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数，这种化繁为简的功能，使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆.18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒（Brook Taylor），于1685年8月18日在米德尔塞克斯的埃德蒙顿出生.1709年后移居伦敦，获法学硕士学位.1717年.他以泰勒定理求解数值方程. 泰勒的主要著作是1715年出版的“正的和反的增量方法”，书内以下列形式陈述出他已于1712年7月给其老师梅钦（数学家、天文学家）信中首先提出的著名定理——泰勒定理：式内V为独立变量的增量，及为流数.他假定Z随时间均匀变化，则为常数.上述公式以现代形式表示则为：这公式是从格雷戈里—牛顿插值公式发展而成的，当 x=0 时便称作马克劳林定理.1772年，拉格朗日强调了此公式之重要性，而且称之为微分学基本定理，但泰勒于证明当中并没有考虑级数的收敛性，因而使证明不严谨，这工作直至十九世纪二十年代才由柯西完成. 泰勒定理开创了有限差分理论，使任何单变量函数都可展开成幂级数；同时亦使泰勒成了有限差分理论奠基者.泰勒于书中还讨论了微积分对一系列物品问题之应用，其中以有关弦的横向振动之结果尤为重要.他透过求解方程导出了基本频率公式，开创了弦振问题之先河.此外，此书还包括了他于数学上之其他创造性工作，如论述常微分方程的奇异解，曲率问题之研究等.  第一章泰勒公式 1.1泰勒公式 对于一元函数，如果它在点处及其附近存在直到阶的导数，则它在点附近可以表达成 . 这就是泰勒公式，其中称为泰勒余项，它有多种表达式.泰勒公式为一元函数的分式提供了一个非常有力的工具，它使得人们可以用高阶导数更精细地刻画函数.它是一元函数微分学的重要内容之一. 与此类似，对于多元函数，也可以给出泰勒公式. 定理：设函数定义于中的某个区域上.点并且于点的某个领域内存在直到阶的连续偏导数，则在点附近有 其中,并且， 余项有渐近表达式 ， 其中，微分表达式 ， 其中，积分表达式 已知一个函数，如何把它表示成我们所需要的多项式呢？先考虑多项式函数 它具有任意阶连续导数，且当时，．经过简单的计算可知.这个多项式的系数同它的各阶导数之间有如下的关系； 如果把这个多项式按照的幂式重新写出来，即 ， 则系数同的各阶导数之间的关系经过计算易知为 : . 再考虑是一般的函数．设它在点具有直到阶的连续导数，这时总可以作出如下的多项式 . 如果已给函数是次多项式，那么由上面的讨论，与完全相同，因而对的研究可以用对的研究来代替.是用及其各阶导数在点的数值来表示的另一个多项式，称其为多项式的泰勒公式. 泰勒定理：若函数满足如下条件： 在闭区间上函数存在直到阶连续导数， 在开区间内存在的的阶导数，则对任何，且，至少存在一点，使得式 . 泰勒中值定理：若函数在开区间有直到 阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于多项式和一个余项的和： 其中 这里在 和之间，该余项称为拉格朗日型的余项. 1.2泰勒公式余项的类型 泰勒公式的余项分为两类，一类是定性的，一类是定量的，它们的本质相同，但性质各异.定性的余项如佩亚诺型余项，仅表示余项是比（当时）高阶的无穷小.如，表示当时，用近似，误差（余项）是比高阶的无穷小.定量的余项如拉格朗日型余项（也可以写成）、柯西余项（如在某些函数的幂级数展开时用）.定量的余项一般用于函数值的计算与函数形态的研究. （1）带有佩亚诺(Peano)型余项的泰勒公式 如果函数在点的某邻域内具有阶导数, 则对此邻域内的点,有 当时, 上式称为麦克劳林(Maclaurin)公式.即 （2）带有拉格朗日(Lagrange)型余项的泰勒公式 如果函数在点 的某邻域内具有阶导数, 则对此邻域内的点, 有 (介于与之间）. 第二章泰勒公式的实际应用 2.1利用泰勒公式求极限 为了简化极限运算，有时可用某巧的泰勒展开式来代替该项，使得原来函数的极限转化为类似多项式有理分式的极限，就能简捷，用泰勒公式计算极限的实质是利用等价无穷小的代替来计算极限，我们知道当等，这种等式价无穷小其实就是将函数用泰勒公式展开式至一次项，有些问题用泰勒公式和我们已经熟知的等价无穷小法相结合，问题又能进一步简化. 例1.求极限 解：当时，，因此 这说明 用泰勒公式可以估计无穷小量的阶，从而计算一些极限. 例2.求极限 解： 2.2泰