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第二章 随机变量及其分布 第一节 随机变量与分布函数 随机变量的定义 为了更好地用数学分析的方法来研究某一随机试验的统计规律，我们引入以下的随机变量的定义。 定义1：设随机试验E的样本空间为S，在S上定义一单值实函数，，称为随机变量。 有些随机试验，它的结果本身就是一个数，即是一个数，这时我们令 ，则就是一个随机变量。例如随机试验：将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面的次数就是如此；但有时随机试验的结果不一定是一个数，例如随机试验：将一枚硬币抛掷三次，观察出现正反面的情况； 这时可以按如下对应关系，将每一个样本点与一个实数相对应： 样本点： 的值： 3 2 2 2 1 1 1 0 这样就是一个随机变量。 若是一个实数集合，设，这样每一个事件都对应到一个实数集，这时我们可以将的所有取值组成的集合看作是一个样本空间，而就可以看作是的一个事件，同时我们就用事件的概率来作为的概率，即。 若是两个事件，和是其分别对应的实数集，若 ， 则 ；反之，若 ，不一定有 ； 有了随机变量这个概念后,这样一个随机事件往往就可表示为， 或，而它们的概率分别为 ，如果任意的实数，我们知道了，就可以求出所有事件的概率，是的一个函数，我们称它为分布函数。 定义2：设为一个随机变量，是任意实数，我们称函数 为的分布函数。 二、分布函数的性质 1、是一个不减函数，对于任意实数，有 ； 2、， 且 ； 3、 是右连续的， 即 。 知道了随机变量的分布函数，就等于知道了该随机变量的统计规律性。 第二节 离散型随机变量及其分布律 离散型随机变量的定义 若随机变量的所有可能取值为有限或可列无限多个，则称为离散型随机变量。 虽然可以用分布函数来描述一个随机变量的统计规律，但对于离散型随机变量来说，如果知道它的所有可能取值及其每一个可能值的概率，即知道 就可以知道它的统计规律性，所以我们可以用上式描述离散型随机变量的统计规律，通常我们称该式为离散型随机变量的分布律，分布律也可以用以下表格的形式来表示： 由概率的定义，满足如下条件： （1）； （2） 若已知离散型随机变量的分布律，则它的分布函数为 。 二、常见的离散型随机变量及其分布律 （1）、（0-1）分布 只能取0，1两个值，取1的概率为，则服从（0-1）分布，它的分布律为 （2）、二项分布 如果一个试验中只考虑两个事件和的发生，则称为伯努利(Bernoulli) 试验。(注：在重伯努利试验中，试验之间是相互独立的) 在伯努利试验中，每一个试验事件发生的概率为，以表示重伯努利试验中发生的次数，则服从参数为，的二项分布。其分布律为 （3） 泊松（Possion）分布 （4）、几何分布 在伯努利(Bernoulli)试验中，每一个试验事件发生的概率为，以表示首次发生时的试验次数，则服从几何分布，其分布律为 例如 某流水生产线上每个产品不合格的概率为，各产品合格与否相互独立，当出现一个不合格产品时即停机检修。设开机后第一次停机时已生产的产品个数为，则服从几何分布。 （5）、巴斯卡分布 在伯努利(Bernoulli)试验中，每一个试验事件发生的概率为，以表示发生了次时的试验次数，则服从巴斯卡分布，其分布律为 （6）、截止几何分布 在伯努利(Bernoulli)试验中，每一个试验事件发生的概率为，以表示重伯努利试验中第一次发生（或试验已结束）时已试验的次数，这时的分布律为 例如一汽车在开往目的地的路上要经过个信号灯，每组信号灯以的概率允许汽车通过，以表示汽车首次停下来时通过的信号灯的个数，则服从截止几何分布。 （7）、超几何分布 设件产品中有件次品，从中取出件产品，设取出的件产品中的次品数为，则称服从超几何分布，的分布律为 注：有时为了求、等一类事件的概率，可根据 来求得。 三 举例 例1 设随机变量的分布律为 求的分布函数，并求 ，。 解：的分布函数为 ； 注：已知离散型随机变量的分布函数为： 求其分布律。 假设某种型号电子元件的使用寿命超过1500小时的为一级品，已知某一大批产品的一级品率为，现在从中随机地抽查20只，问（1）20只元件中恰有只