L8-晶格振动1.ppt

利用声子来描述晶格振动不仅可以使表述简化，而且有深刻的理论意义。 * 质量为M弹性系数为k的简谐振动方程： 第三章 晶格振动与晶体的热学性质 §3.1 间谐振动的量子化与声子 方程的解： 振动频率： 振子能量包括动能和势能： 在量子力学中，Hq是哈密顿算符，其中动量 Xq为谐振子坐标。 哈密顿量 对应的薛定谔方程为： 由这个方程可以求得能量本征值为： 从这一结果可以得出： 晶格振动能量的增减是量子化的，必须是 的 整数倍，这种能量单元(能量量子)称 为声子。 声子是玻色子，服从玻色统计。电子、中子和光子与晶格振动的相互作用都可用这些粒子与晶格中声子的相互作用来描述，它们吸收或产生声子改变粒子本身的能量和动量。 声子不是真实的粒子，只是一种准粒子，它是晶体原子集体运动形成的格波的能量激发单元。声子数目可以不守恒，可增加可减少。 原子间的排斥势：当原子间间距很小时，两个原子封闭壳层电子轨道开始交叠，泡利不相容原理不允许两个电子占据完全相同的量子态，产生排斥势。实验证明排斥势于原子间间距的12次方成反比。 原子间总的相互作用势：u(r)=-A/r6+B/r12 §3.2 原子间的相互作用势能 范得瓦尔斯吸引势：电偶极矩的相互作用产生微弱的吸引势，将原子凝聚在一起，该势与原子间距离的6次方成反比。 考虑晶体中第n个格点(原子) 在其平衡位置附近振动，其位置矢量为： 晶体的总势能： 利用泰勒展开公式： 简谐近似 忽略高阶项，保留至二阶项 上式称为简谐近似。 §3.3 一维单原子链的振动 一、运动方程及其解 n n+1 n+2 n-1 n-2 ?n ?n+1 ?n+2 ?n-1 ?n-2 a a ? ? 只考虑最近邻原子间的相互作用： ?：力常数 第n个原子间受到的作用力： 第n个原子的运动方程： 试解 —— 格波方程 解得 —— 色散关系 二、格波的简约性质、布里渊区（Brillouin Zone） —— 布里渊区 —— 色散关系 0 q ?(q) q的物理意义：沿波的传播方向（即沿q的方向）上，单 位距离两点间的振动位相差。 格波解：晶体中所有原子共同参与的一种频率相同的振 动，不同原子间有振动位相差，这种振动以波 的形式在整个晶体中传播，称为格波。 对于确定的n：第n个原子的位移随时间作简谐振动 对于确定时刻t：不同的原子有不同的振动位相 格 波： 连续介质弹性波： 例： q取不同的值，相邻两原子间的振动位相差不同，则 晶格振动状态不同。 若 则 与 描述同一晶格振动状态 三、周期性边界条件（Born－Karman边界条件） 1 2 n N N+1 N+2 N+n h =整数 在q轴上，每一个q的取值所占的空间为 q的分布密度： L＝Na ——晶体链的长度 晶格振动格波的总数=N·1 布里渊区中波数q的取值总数 =N=晶体链的原胞数 =晶体链的自由度数 四、格波的简谐性、声子概念 晶体链的动能： 晶体链的势能： 系统的总机械能： 第n个原子振动方程的特解： 第n个原子振动方程的一般解： 线性变换系数正交条件： 系统的总机械能化为： Q(q, t)代表一个新的空间坐标，它已不再是描述某个原子运动的坐标了，而是反映晶体中所有原子整体运动的坐标，称为简正坐标。 简正坐标 运动方程： 声子是晶格振动的能量量子 声子的概念： 一种格波即一种振动模式称为一种声子， nj：声子数。 晶体中所有原子共同参与的同一频率的简谐振动称为一种振动模式。 能量本征值： 当电子或光子与晶格振动相互作用时，总是以 为 单元交换能量。 声子具有能量 ，也具有准动量 ，但它不能 脱离固体而单独存在，并不是一种真实的粒子, 只是一 种准粒子。 声子的作用过程遵从能量守恒和准动量守恒。 由N个原子组成的一维单原子链，晶格振动的总能量为： 声子可以通过热激发产生，也可以通过光子或其他粒子 与晶格的相互作用过程产生，在相互作用的过程中，声 子数不守恒。