考研数学跟踪辅导系列1.doc

数学跟踪辅导系列之一 编者按：随着同学们对考研复习的进一步深入，许多同学发现数学复习越来越困难，面对众多的知识点，繁杂的公式往往会不知所措。针对此种情况，海文校刊从四月份开始开设“考研数学复习跟踪辅导系列”，该辅导系列适合于考数（一）和考数（二）的同学，数（二）中不作要求的内容我们会特别指出，望广大考生关注。 （一）函数、极限、连续 Ⅰ. 概念 数列极限，函数极限，左极限，右极限，无穷小量，无穷大量，无穷小量的比较（高阶无穷小，同阶无穷小，低阶无穷小，等价无穷小），函数连续性，间断点。 Ⅱ.重要定理与公式、技巧 ⅰ.注意几个等价无穷小，在求极限时，往往利用等价无穷小可以使题目“柳暗花明又一村”。但是，在利用等价无穷小代换时，要注意以下两点： ◆加减运算不可以用等价无穷小代换； ◆乘除运算可以用等价无穷小代换来简化运算。例如:求极限时,分子中的 不能用来等价代换,而求极限时,可以用来代换,则有: ,再用来代换,则原极限= . ◆当x0时，以下几项与x等价：sinx , tanx , arcsinx , arctgx , ln(1+x) , ex-1; ◆当x0时，1-cosx与等价； ◆当x0时，—1与等价，例如：—1 与等价； ⅱ.注意以下几个极限： ◆；例如：这个最常用最典型的公式就是这样推导过来的。 ◆（n为正整数）； ◆ ; ◆; ◆（a1, 0）; ◆(a1); ◆ ◆; ◆; ◆. ⅲ.函数极限的求法:等价无穷小代换;夹逼定理;洛必达法则;利用重要公式: 和;变量替换法(即换元法);n项和(或积)( )的极限常转换成积分运算。另外还要注意各种方法的结合使用。 Ⅲ.好题精选 例题1.求极限； 解：设＝，则有：（），因此有：. 也即：. 又 ＝ . ＝ . 由夹逼定理有: ＝ . 例题2. 求极限 .（，，? ? ? ，均为大于0的数）. 解:设中最大的为 , 则有 ( n个)， 也即 ，又＝ ，＝ ，所以有 ＝.即 ＝ {}. 注意:要记住该结论，在很多题中可以套用该结论。例如：求极限，根据该结论可直接得出答案：时， ，＝1； 时， ，＝x； 时， ，＝； 类似的结论有: .(读者可以自己证明). 例题3.求极限: . 解:(+) (+) , 又(+)====. ===. 由夹逼定理有: =. 注意: n项和 ( )的极限常转换成积分运算,转换为定积分求解的条件是: 每一项都可以提出一个. 提出后每一项都可以用一个通项表示. 另外，还要注意：+是等比数列求和，但公比为1，不能直接计算处该和式的结果。 求n项积( )的极限可利用对数恒等式将n项积转换成n项和的形式。 （二）一元函数微分学 Ⅰ. 概念 导数,导数的几何意义,左导数,右导数,微分,导数的运算法则. Ⅱ.重要定理与公式、技巧 ⅰ.重要公式：基本求导公式（由于篇幅问题，恕不一一详述。） 高阶求导公式：◆=. ◆. ◆ ◆. ◆. ◆. ◆. 微分中值定理：罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理。 ⅲ. ◆复合函数求导数 : 连锁法则 ◆隐函数F(x,y)=0求导数: 解法1.方程两边对x求导数,y的函数看作x的复合函数,用复合函数的连锁法则求解,各项的导数求完后将的项移到等式一边,解出即得导数. 解法2.公式法: F(x,y)=0, = 解法3:利用一阶微分形式不变性.对等式两边求微分,将 ,分别整理到等式得左右两边,求得的即是所求结果。 ◆参数方程求导数：直接根据参数方程，＝ ◆反函数求导：设函数在处可导，且，则其反函数在相应的处可导，且，＝. ◆分段函数求导数：在非分界点的导数按一般的方法来解,在分界点的导数用导数的定义来求解: ,,看与是否相等。 另外，还有幂指函数微分法，即通过对数恒等式处理。通用的解法是由,可变形为: , 则有: Ⅲ.好题精选 例题1.设，求. 解：此题是三角有理式高阶导数的求解问题。一般的解法时把三角有理式通过积化和差转换为多项三角式的和。 ＝ === 有：. 例题2.设连续，且，令，求。 解：这是一道求分段函数导数的题目。 当时，， ＋. 当时， ， ＝. 当时，(一定要从定义入手) ＝＝＝1. ===1; 由知：；