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第十二节 指数 一 1．整数指数幂的概念 2．运算性质： 3．注意 ① 可看作 ∴== ② 可看作 ∴== 二 1．根式： ⑴计算 ①= 9 ，则3是9的平方根 ； ②=－125 ，则－5是－125的立方根 ； ③若=1296 ，则6是1296 的 4次方根 ； ④=693.43957 ，则3.7是693.43957的5次方根 . ⑵定义： 一般地，若 则x叫做a的n次方根 叫做根式，n叫做根指数，a叫做被开方数 例如，27的3次方根表示为，-32的5次方根表示为，的3次方根表示为；16的4次方根表示为(，即16的4次方根有两个，一个是，另一个是-，它们绝对值相等而符号相反. ⑶性质： ①当n为奇数时：正数的n次方根为正数，负数的n次方根为负数 记作： ②当n为偶数时，正数的n次方根有两个（互为相反数） 记作： ③负数没有偶次方根， ④ 0的任何次方根为0 注：当a0时，0，表示算术根，所以类似=2的写法是错误的. ⑷常用公式 根据n次方根的定义，易得到以下三组常用公式： ①当n为任意正整数时，()=a.例如，()=27，()=-32. ②当n为奇数时，=a；当n为偶数时，=|a|=. 例如，=-2，=2；=3，=|-3|=3. ⑶根式的基本性质：，（a0）. 注意，⑶中的a0十分重要，无此条件则公式不成立. 例如. 用语言叙述上面三个公式： ⑴非负实数a的n次方根的n次幂是它本身. ⑵n为奇数时，实数a的n次幂的n次方根是a本身；n为偶数时，实数a的n次幂的n次方根是a的绝对值. ⑶若一个根式(算术根)的被开方数是一个非负实数的幂，那么这个根式的根指数和被开方数的指数都乘以或者除以同一个正整数，根式的值不变. 典型例题 1．根式求值 ①= -8 ； ②= |-10| = 10 ； ③= || = ； ④= |a- b| = a- b . 去掉‘ab’结果如何？ 2．用分数指数幂表示下列分式(其中各式字母均为正数) (1) （２） （３） （４） （５） （6） 解：（１） (2) (3) （４） （５） （６） 3．计算下列各式（式中字母都是正数）： ⑴ ；⑵ . 解：⑴原式=[2×(-6)÷(-3)]； ⑵原式= 4．计算下列各式： ⑴ ；⑵ (a0). 解：⑴原式= =； ⑵原式=. 5．化简： 解： 6．已知x+x-1=3,求下列各式的值： 分析：（1）题若平方则可出现已知形式，但开方时应注意正负的讨论； （2）题若立方则可出现（1）题形式与已知条件，需将已知条件与（1）题结论综合；或者，可仿照（1）题作平方处理，进而利用立方和公式展开 解： 7．·等于 （ ） A.－ B.－ C. D. 8．当时，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 9．写出使下列等式成立的x的取值范围： （1） （2） 10．化简 （1） （2） (3) 11．计算：_____________ 12．已知，求的值 解：∵，∴，∴，∴， ∴，∴， 又∵， ∴ 课后练习 1．求下列各式的值： (1) （2） （３） （4） 解：（１） （２） (3) (4) 2. 练习求下列各式的值： (1) （２） （３） （4） （5） （6） 解：(1) (2) （３） (4) (5) (6) 3（理）求值： 分析：（1）题需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质； 解： 4．（理）求值； 解：原式