第9章MATLAB微分方程问题的求解.ppt

9.1 单步方法 为求解前述初值问题的数值解，我们采用离散化方法。在求解区间上取一组节点： 称 为步长，为简单起见，仅考虑等距步长。 离散化方法的基本特点是依照某一递推公式，按节点从左至右的顺序依次求出y(xk)的近似值yk，若在计算第k+1的近似值时，只用到它前一步xk,xk+1,yk的信息，那么称此方法为单步方法。单步法主要有Euler方法和Runge-Kutta方法等。 9.5 偏微分方程的数值解法 一、几类特殊的偏微分方程 椭圆型偏微分方程 抛物型偏微分方程 双曲型偏微分方程 特征值型偏微分方程（椭圆型偏微分方程的一个特例） 二、偏微分方程的界面求解 （1）绘制求解区域 选择Options|Axes Limits菜单，将打开一个设置x,y轴坐标范围的对话框，这里设置x,y轴的范围均为[-0.1,1.1]。 单击矩形按钮 ，画一个边长为1的正方形区域 ，该正方形自动命名为R1，并显示在区域上方的公式栏（Set formula）中，为了定位光标，可选择Options|Grid菜单，这时将在区域内画网格。如果要精确地确定正方形的位置，可以在正方形内部双击鼠标左键。在出现的对话框中输入正方形的左边界（Left），下边界（Bottom），宽度（Width）和高度（Height）的数值。另外也可以在Name栏中修改正方形的名称。之后选择Options|Application|heat transfer菜单或直接在工具栏右侧的列表框中选择以确定偏微分方程的类型。 （2）设定边界条件 单击按钮 ，进入边界模式，这时区域由灰色变成白色，而边界变成红色，选择菜单Boundary|Show Edge Labels给四条边界标上序号1、2、3、4。边界条件的默认设置是在所有的边界上，根据题意，边界1和2的边界条件需要修改，双击边界1， 在出现对话框的边界条件类型（Condition type）中选择Dirichlet（默认），这时描述边界的方程（Boundary condition equation）是h*T=r，在h一栏中填入1（默认值），r一栏中填入sin(3*pi.*x).*cos(pi.*x)，用同样的方法设置边界2的边界条件。 （3）设置方程类型 单击按钮 ，在方程类型（Type of PDE）中选择椭圆型（Elliptic）（默认），这时方程的形式为-div(k*grad(T))=Q+h*(Text-T),只要取k=1,Q=0,h=0,Text=0即可。 （4）建立网格 单击按钮 ，将区域划分为三角形网格，为了能得到更高的精度，再单击按钮 ，将得到更小的三角形网格。 （5）输出图形 单击按钮 ，得到用颜色表示的解的分布图，为了得到更好的视觉效果，可单击按钮 ，选择Hight(3-D plot)和Plot x-y grid，在这里Plot x-y grid是用矩形网格画图，速度要快一些，而Show mesh在是用三角形网格作图，速度稍微慢一些。最后单击对话框中Plot按钮即得到效果图。 * * 第9章 微分方程问题的求解 9.1 单步方法 9.2 线性多步法 9.3 一阶微分方程组和高阶微分方程组 9.4 边值问题的求解 9.5 偏微分方程的数值解法 9.6 实例解析 本章目标：求 的数值解 一、 欧拉方法 ? 欧拉法的建立及其几何意义： 1°差商方法 向前差商近似导数 记为 x0 x1 y0=y(x0) 2°积分方法 对 在区间[x, x+h]上积分得： 特别地，当x=xn时，有 再用yn代替y(xn)，便有欧拉法公式（9.1）. 3°欧拉法的几何意义 亦称为欧拉折线法 （9.1） 据矩形公式 ? 隐式欧拉法和二步欧拉法： ? 隐式欧拉法 向后差商近似导数 x0 x1 )) ( , ( ) ( 1 1 0 1 x y x f h y x y + ? ) 1 , ... , 0 ( ) , ( 1 1 1 - = + = + + + n i y x f h y y i i i i 由于未知数 yi+1 同时出现在等式的两边，不能直接得到，故称为隐式 欧拉公式，而前者称为显式 欧拉公式。 中心差商近似导数 用此公式计算 yi+1 时要用到前两步的信息 yi-1 , yi ，故称为二步欧拉法（公式）。 ? 二步欧拉法（中点欧拉公式） 一般先用显式 计算一个初值， 再迭代求解。 x0 x2 x1 需要2个初值 y0和 y1来启动递推 过程