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18_4条件极值
一般的,在条件组 定理1 设 例3. 例5. 解: 2.若广告费用为1.5万元,则需求利润函数在条件 例6. 求 解: 3. 函数的最值问题 * 第18章 第4节 条件极值 极值问题 无条件极值: 条 件 极 值 : 对自变量只有定义域限制 对自变量除定义域限制外, 还有其它条件限制 引例. 要设计一个容量为 则问题为求x , y , 设 x , y , z 分别表示长、宽、高, 下水箱表面积 最小. z 使在条件 水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省? 的长方体开口水箱, 试问 条件极值: 方法1 代入法. 求一元函数 的无条件极值问题 例如 , 转化 条件极值的求法: 方法2 拉格朗日乘数法. 如方法 1 所述 , 则问题等价于一元函数 可确定隐函数 的极值问题, 极值点必满足 设 记 例如, 故 故有 引入辅助函数 辅助函数L 称为拉格朗日( Lagrange )函数. 利用拉格 极值点必满足 则极值点满足: 朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法. 推广 拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形. 设 解方程组 可得到条件极值的可疑点 . 例如, 求函数 下的极值. 在条件 的限制下,求目标函数 的极值. 拉格朗日函数为 其中 为拉格朗日乘数. 且有下面结论(P166,Th18.6) 在区域D内有连续 的一阶偏导数.若D的内点P0(x1(0),…,xn(0))是上述问题 的极值点,且雅可比矩阵 的秩为m,则存在m个常数 使得 为拉格朗日函数L的稳定点. 即 为下面 m + n 个方程 的解. 例1. 要设计一个容量为 则问题为求x , y , 令 解方程组 解: 设 x , y , z 分别表示长、宽、高, 下水箱表面积 最小. z 使在条件 水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省? 的长方体开口水箱, 试问 得唯一驻点 由题意可知合理的设计是存在的, 长、宽为高的 2 倍时,所用材料最省. 因此 , 当高为 思考: 1) 当水箱封闭时, 长、宽、高的尺寸如何? 提示: 利用对称性可知, 2) 当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时, 欲使造价 最省, 应如何设拉格朗日函数? 长、宽、高尺寸如何? 提示: 长、宽、高尺寸相等 . 例2. 求旋转抛物面 与平面 之间的最短距离. 解: 设 为抛物面 上任一点, 则 P 的距离为 问题归结为 约束条件: 目标函数: 作拉氏函数 到平面 令 解此方程组得唯一驻点 由实际意义最小值存在 , 故 已知平面上两定点 A( 1 , 3 ), B( 4 , 2 ), 试在椭圆 圆周上求一点 C, 使 △ABC 面积 S△最大. 解: 设 C 点坐标为 (x , y), 则 设拉格朗日函数 解方程组 得驻点 对应面积 而 比较可知, 点 C 与 E 重合时, 三角形 面积最大. 点击图中任意点 动画开始或暂停 解: 则 例4. 将正数12分成三个正数 x, y, z 之和, 使得 为最大. 令 解得唯一驻点 (6,4,2), 故最大值为 广告,根据资料知销售收入 R(万元)与电台广告 报纸广告费用 之间的关系式: 1.在广告费用不限的情况下求最优广告策略. 2.若提供的广告费用为1.5万元,求相应的最优广告策略. 某公司可通过电台及报纸两种方式做商品销售 费用 1.最优广告策略即为用于广告费多少时可使得利润 函数 最大. 由题意可知: 则在 时利润函数取得最大值. 下的条件极值,辅助函数为: 即将广告费1.5万元全部用于报纸广告,可使利润最大. 在条件 并证明不等式 下的极小值; 设拉格朗日函数为 得方程组 解得L的稳定点为 目标函数 中视 z 为 x,y 的函数, 并令 F(x,y)=xy z(x,y), 则 由条件 求导得
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