微积分-积分公式定理集锦.doc

PAGE \* MERGEFORMAT9 北京理工大学微积分-积分定理集锦常用积分公式 定理 程功 2010/12/22   定理 1.积分存在定理 1） 2） （此性质可以推广到有限多个函数求和的情况）。 性质3：（定积分对于积分区间具有可加性） 性质4: 性质5： 推论（1）：如果在区间上，则 推论（2）： 性质6：设及分别是函数上的最大值与最小值，则 3.定积分中值定理 如果函数在闭区间上连续，则在积分区间上至少存在一点，使 4.积分上限函数函数的性质 如果在上连续，则积分上限的函数在上具有导数，且导数为 补充：如果连续，、可导，则的导数为 5．原函数存在定理 如果在上连续，则积分上限的函数就是在上的一个原函数。 定理的重要意义： 1）肯定了连续函数的原函数是存在的. 2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系. 6.牛顿-莱布尼茨公式 如果是连续函数在区间上的一个原函数，则 7.不定积分的性质 此性质可推广到有限多个函数之和的情况 8.换元公式 设具有原函数，可导，则有换元公式 常见类型： 设是单调的、可导的函数，并且，又设有原函数，则有换元公式，其中是的反函数。 三角代换的目的是化掉根式，一般规律如下：当被积函数中含有： 可令 可令 可令 简单无理函数的积分:讨论类型： 解决方法: 作代换去掉根号． 9.分部积分 设函数和具有连续的导数， 。（分部积分公式） 分部积分顺序：反、对、幂、指、三 前者为。 10. 有理函数化为部分分式之和的一般规律： （1）分母中若有因式，则分解后为其中都是常数。特殊的，分解后为 （2）分母中含有因式，其中，则分解后为 其中都是常数。特殊的分解后为 11.将有理函数化为部分分式之和后，只出现三类情况： 多项式： 讨论积分： 这三类积分均可积出, 且原函数都是初等函数 结论：有理函数的原函数都是初等函数 12.三角函数有理式积分 三角有理式的定义：由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之．一般记为 令，则： 13.定积分换元公式 设在上连续，函数在上是单值的且有连续导数；当在区间上变化时，的值在上变化，且，则有。 注意：（1）用把变量换成新变量时，积分限也相应改变。 求出的一个原函数后，不必像计算不定积分那样再要把变换成原变量的函数。而只要把新变量的上下限分别代入然后相减就行了。 14.定积分分部积分公式 设函数、在区间上具有连续导数，则有 15无穷限广义积分 设函数在区间上连续，取，如果极限存在，则称此极限为函数在无穷区间上的广义积分记作 当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称广义积分发散。 类似的，设函数在区间上连续，取，如果极限存在，则称此极限为函数在无穷区间上的广义积分记作 当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称广义积分发散。 设函数在区间上连续，如果广义积分都收敛，则称上述两广义积分之和为函数在无穷区间上的广义积分记作 当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称广义积分发散。 16.无界函数的广义积分 设函数在区间上连续，而在点的右邻域内无界．取，如果极限存在，则称此极限为函数在区间上的广义积分，记作 当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称广义积分发散。 设函数在区间上除点外连续，而在点的邻域内无界.如果两个广义积分和都收敛，则定义否则，就称广义积分发散. 定义中C为瑕点，以上积分称为瑕积分. 说明：若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类间断点, 则本质上是常义积分, 而不是广义积分，例如： 17.微元法的一般步骤 1）根据问题的具体情况，选取一个变量例如为积分变量，并确定它的变化区间； 2）设想把区间分成个小区间，取其中任一小区间并记为，求出相应于这小区间的部分量的近似值.如果能近似地表示为上的一个连续函数在处的值与的乘积，就把称为量的微元且记作，即； 3）以所求量的微元为被积表达式，在区间上作定积分，得，即为所求量的积分表达式. 应用方向：平面图形的面积、体积；平面曲线弧长；功；水压力；引力和平均值等． 18.几何应用 1）面积计算 直角坐标系： 参数方程 如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积（其中和对应曲线起点与终点的参数值）在[,]（或[,]）上具有连续导数，连续. 极坐标情形 设由曲线及射线、围成一曲边扇形，求其面积．这里，在上连续，且．面