2003年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题祥解.doc

2003年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题祥解 填空题 〖标准答案〗 〖命题目的〗 考查未定式的极限。 〖分析解答〗 型未定式，化为指数函数或利用公式= 进行计算求极限均可. 解1 =, 而 ， 故 原式= 解2 因为 ， 所以原式= ………………………………………………………………………………………………………………… 〖标准答案〗 〖命题目的〗 考查求曲面的切平面。 〖分析解答〗 令 ，则 ，， . 设切点坐标为，则切平面的法矢量为 ，其与已知平面平行，因此有 ， 可解得 ，相应地有 故所求的切平面方程为 ，即 ………………………………………………………………………………………………………………… 〖标准答案〗 1 〖命题目的〗 考查傅里叶级数的展开公式。 〖分析解答〗根据余弦级数的定义，有 == =1. ………………………………………………………………………………………………………………… 〖标准答案〗 。 〖命题目的〗 考查过度矩阵的概念。 〖分析解答〗 根据定义，从的基到基的过渡矩阵为 [[ ………………………………………………………………………………………………………………… 〖标准答案〗 〖命题目的〗 考查二维连续型随机变量事件的概率计算。 〖分析解答〗 由题设，有 y 1 D O 1 x ………………………………………………………………………………………………………………… 〖标准答案〗 〖命题目的〗 考查随机变量概率的计算。 〖分析解答〗 已知方差，对正态总体的数学期望进行估计，可根据，由确定临界值，进而确定相应的置信区间. 由题设，，可见 于是查标准正态分布表知本题n=16, , 因此，根据 ，有，即 ，故的置信度为0.95的置信区间是 . ………………………………………………………………………………………………………………… 二、选择题 〖标准答案〗 C 〖命题目的〗 考查函数图形与导数图形的关系。 〖分析解答〗 答案与极值点个数有关，而可能的极值点应是导数为零或导数不存在的点，共4个，是极大值点还是极小值可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定. 根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有3个，而 则是导数不存在的点. 三个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致，必为极值点，且两个极小值点，一个极大值点；在左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见为极大值点，故共有两个极小值点和两个极大值点，应选C . ………………………………………………………………………………………………………………… 〖标准答案〗 D 〖命题目的〗 考查数列极限的概念。 〖分析解答〗 用举反例法，取，，，则可立即排除A , B , C，因此正确选项为D. ………………………………………………………………………………………………………………… 〖标准答案〗 A 〖命题目的〗 考查二元函数极值的概念。 〖分析解答〗 由知，分子的极限必为零，从而有, 且 充分小时），于是 可见当且充分小时，；而当且充分小时，. 故点(0,0)不是的极值点，应选 A . ………………………………………………………………………………………………………………… 〖标准答案〗 D 〖命题目的〗 考查向量组的线性相关性。 〖分析解答〗 用排除法：如，则，但 线性无关，排除A ；，则可由线性表示，但线性无关，排除B；，可由线性表示，但线性无关，排除C . 故正确选项为D. ………………………………………………………………………………………………………………… 〖标准答案〗 B 〖命题目的〗 考查齐次线性方程组的解与它的系数矩阵的秩之间的关系。 〖分析解答〗 若与同解，则秩(秩(), 即秩()秩()，命题 ③成立，可排除A , C；但反过来，若秩()秩()， 则不能推出与同解，如，，则秩()秩()，但与不同解，可见命题④不成立，排除D,故正确选项为B . ………………………………………………………………………………………………………………… 〖标准答案〗 C 〖命题目的〗 考查分布、分布和分布的定义。 〖分析解答〗 由题设知，，其中，于是 =，这里，据分布的定义知故应选C. ………………………………………………………………………………………………………………… 三、〖命题