计算方法课件10月17日(OK.ppt

Airplane track Raw and processed image * 今日新内容 第三章： 数据拟合法 （data simulation/fitting） 3.1 问题的提出 及 最小二乘(least squares)原理 Consider the problem of estimating the values of a function at non-tabulated points, given the experimental data in the following table. xi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 yi 1.3 3.5 4.2 5.0 7.0 8.8 10.1 12.5 13.0 15.6 问题的提出：数据拟合why what？ 数据散点图 It appears that the actual relationship between x and y is linear. The likely reason that no line precisely fits the data is because of errors in the data. The ninth degree interpolating polynomial is clearly a poor predictor of information between a number of the data points. A better approach would be to find the “best” (in some sense) approximating line, even if it does not agree precisely with the data at any point. Lagrange 插值函数 数据拟合的问题： 设函数y=f(x)在n个互异点的观测数据为 求一个简单的近似函数φ(x)，使之 “最好”地逼近f(x)， 而不必满足插值原则。称函数y=φ(x)为拟合函数。 y1 y2 ….. yn yi x1 x2 ….. xn xi 通常选择函数类型的做法：描出散点图， 再根据专业知识和经验来选择φ(x)的类型。 直线类型：最简单的类型 直线拟合 假设所给数据点( xi ,yi )(i=1,2,…,N)的分布大致成一直线， 求作拟合直线 从所给数据点( xi ,yi )通过，就是说，成立 但是，数据点的数目N2， 是个解超定（矛盾）方程组的代数问题， 因此，这条直线不可能穿过所有的点。 设 表示按拟合直线 y=a+bx求得的近似值，两者之差 称为误差，也称剩余。 只能尽可能地从所给数据点( xi ,yi )附近通过， 就是说，近似地成立 拟合直线 构造拟合曲线可以采用下列三种准则之一： 分析以上三种准则, (1)和(2)两种由于 含有绝对值运算, 不便于实际应用, 最常用的是准则(3)称作曲线拟合的最小二乘法. (1)使误差的最大绝对值为最小: (2)使误差的绝对值之和为最小: (3)使误差的平方和为最小: 按最小二乘法, 作直线拟合应使 (3)使误差的平方和为最小: 为最小，极小值点一阶导数为0 得方程组 最小二乘法（least squares method） 求导数并写出关于a，b的方程组。 误差平方和： 极小值点一阶导数为0 正规(正则)方程组normal equations: 正规方程组 例 3.1 已知实验数据表，试用最小二乘法求经验公式拟合这组数据。 解 作散点图，容易看出数据点接近一条 直线，因此设经验公式为 2 11 28 40 y 2 4 6 8 x 正规方程组为 解得 得拟合公式为 y= -12.5+6.55x N=4, 例 3.2 24个纤维样品的数据 从散点图（教材P48，图3-1）看出大致呈直线关系 用y*=ax+b拟合。 解正则方程组 求a，b, 进而求y*=ax+b。 计算正规方程组的系数 得出正规方程并求解 (1) 由已知数据画出函数粗略的图形——散点图， 确定可以用直线进行拟合; (2) 列表计算 (3)写出正则方程组，求出 a，b; (4) 写出拟合直线方程 y*=ax+b. 直线拟合的一般步骤：