莆田四中2012年高一数学竞赛练习卷(一)答案.doc

莆田四中2012年高一数学竞赛练习卷（一）答案 一．选择题 1. 已知集合集合的非空真子集的个数为（ ） 6 7 14 15 2. 直线：被圆：截得的最短弦长为（ ） 3. 已知定义在上的奇函数在区间上是增函数的图像关于直线对称。若方程在区间上有6个不同的实根 （ ） -12 12 -8 8 4.从正方体的8个顶点中，任意选择4个顶点，则这四个点可能是：（1）。矩形的四个顶点；（2）。有三个面为等腰直角三角形，另一个面为等边三角形的四面体的四个顶点；（3）。每个面都是等边三角形的四面体的四个顶点；（4）。每个面都是直角三角形的四面体的四个顶点。 其中正确的结论有（ ） 1个 2个 3个 4个 5.已知函数满足：对任意实数，当时，总有，则实数的取值范围是（ ） 6.若点是直线的一个公共点，则的取值范围是（ ） 7.已知函数，若不相等，且，则的取值范围（　　　D） A． B． 　C． 　D． 8．设P是△ABC内任意一点，S△ABC表示△ABC的面积，λ1＝， λ2＝，λ3＝，定义f（P）=（λ1, λ, λ3）,若G是△ABC的重心，f（Q）＝（，，），则A．点Q在△GAB内　 B．点Q在△GBC内 C．点Q在△GCA内　 D．点Q与点G重合．已知直线与圆相交于A，B两点，且， 则_____ ____． ．已知圆的圆心与点关于直线对称．直线与圆相交于两点，且，则圆的方程为 ．的不等式恰有唯一的解，则实数的值是 。 12.已知函数，给出下列四个命题： （1）。当且仅当时，上的偶函数； （2）。当时， 上的减函数；（3）。当时，上的增函数；（4）。若上的递增的奇函数，则。其中正确命题的序号是 。（把你认为正确命题的序号都填上） 13.已知定义在上的函数满足：对一切整数均有成立，且当时， 。 14.设点是函数图象上三个不同的点，满足轴平行，是面积为100的直角三角形，则点的纵坐标为 。 15.一个棱长为的正四面体纸盒内放一个正方体，并且能使正方体在纸盒内任意转动，则正方体棱长的最大值为 。 16.若从在实数，使得，则实数的所有可能值为 。 17.设且为奇函数，为偶函数，则 。 18.若对满足的一切实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 19.已知上的偶函数，对任意都有成立，则 。 三．解答题 20.已知圆C： 直线 （1）证明：不论取何实数，直线与圆C恒相交； （2）求直线被圆C所截得的弦长的最小值及此时直线的方程； 20.解:（1）证明：直线可化为：，由此知道直线必经过直线与的交点，解得：，则两直线的交点为A（3，1），而此点在圆的内部，故不论为任何实数，直线与圆C恒相交。 （2）联结AC，过A作AC的垂线，此时的直线与圆C相交于B、D两点，根据圆的几何性质可得，线段BD为直线被圆所截得最短弦，此时|AC|，|BC|=5，所以|BD|=4。 即最短弦为4；又直线AC的斜率为，所求的直线方程为，即 21.已知定义在区间上的函数满足下列三个条件： （1）。对任意的，总有成立； （2）。； （3）。当时，总有。 求的值。 22．已知以点C (t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O为原点． (1)求证：△AOB的面积为定值； (2)设直线2x＋y－4＝0与圆C交于点M、N，若OM＝ON，求圆C的方程； (1)证明　由题设知，圆C的方程为(x－t)2＋2＝t2＋， 化简得x2－2tx＋y2－y＝0， 当y＝0时，x＝0或2t，则A(2t,0)； 当x＝0时，y＝0或，则B， ∴S△AOB＝OA·OB＝|2t|·＝4为定值． (2)解　∵OM＝ON，则原点O在MN的中垂线上，设MN的中点为H， 则CH⊥MN， ∴C、H、O三点共线，则直线OC的斜率k＝＝＝，∴t＝2或t＝－2. ∴圆心为C(2,1)或C(－2，－1)， ∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5或(x＋2)2＋(y＋1)2＝5， 由于当圆方程为(x＋2)2＋(y＋1)2＝5时，直线2x＋y－4＝0到圆心的距离dr，此时不满