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第三章 平面问题的直角坐标解答 一、逆解法 二、半逆解法 1、简支梁受均布载荷 2、楔形体受重力和液体压力 要点: 用逆解法、半逆解法求解平面弹性力学问题。 一、逆解法 二、半逆解法 主 要 内 容 适用性：由一些直线边界构成的弹性体。不计体力。 目的：考察一些简单多项式函数作为应力函数，能解决什么样的力学问题。 ——逆解法 逆解法 （1） 根据问题的条件 ：几何形状、边界条件 假设各种满足相容方程的φ(x,y) 的形式； （2） 然后利用应力分量计算式（2-26），求出 （具有待定系数）； （3） 再利用应力边界条件式（2-18），来考察这些应力函数φ(x,y) 对应什么样的边界面力问题，从而得知所设应力函数φ(x,y) 可以求解什么问题。 其中： a、b、c 为待定系数。 检验φ(x,y) 是否满足双调和方程： 显然φ(x,y) 满足双调和方程，因而可作为应力函数。 （1） 1. 一次多项式 （2） （3） 对应的应力分量： 结论1： （1）一次多项式对应于无体力和无应力状态； （2）在应力函数上加上或减去一个一次多项式，对应力无影响。 2. 二次多项式 （1） 其中： a、b、c 为待定系数。 假设(a 0 , b 0, c 0) 检验φ(x,y) 是否满足双调和方程，显然有 （2） (可作为应力函数 ) （3） 由式（2-26）计算应力分量： 结论2： 二次多项式对应于均匀应力分布。 x y 2c 2c 2a 2a 例：试求图示板的应力函数。 x y x y x y 3. 三次多项式 （1） 其中: a、b、c 、d 为待定系数。 检验φ(x,y) 是否满足双调和方程，显然有 （2） (可作为应力函数 ) （3） 计算应力分量： 结论3： 三次多项式对应于线性应力分布。 讨论： 可算得： 图示梁对应的边界条件： x y 1 l l M M 可见： —— 对应于矩形截面梁的纯弯曲问题应力分布。 常数d与弯矩M的关系，由梁端部的边界条件： 可见：此结果与材力中结果相同，说明材力中纯弯曲梁的应力结果是正确的。 (1) (2) 说明： （1）组成梁端力偶 M 的面力须线性分布，且中心处为零， 结果才是精确的。 （2）若按其它形式分布，则此结果不精确，有误差；但按圣维南原理，仅在两端误差较大，离端部较远处误差较小。 （3）当 l 远大于h 时，误差较小；反之误差较大。 4. 四次多项式 （1） 检验φ(x,y) 是否满足双调和方程 （2） 代入： 得 可见，对于函数： 其待定系数，须满足下述关系才能作为应函数： 特例： （须满足：a + e =0） 5、位移分量的求出 以纯弯曲梁为例，说明如何由应力分量求出应变分量、位移分量？如何利用位移边界条件？ （退化处理或弱化处理）——自习 要点：—— 用半逆解法求解梁、长板类平面问题、楔形体受重力和液体压力 （1） 根据问题的条件 （几何形状、受力特点、边界条件等）， 假设部分应力分量的某种函数形式 ； （2） 根据 应力与应力函数的关系及相容方程，求出应力函数 的形式； （3） 最后利用式（2-26）计算出应力分量，并让其满足边界条件和位移单值条件。 半逆解法 x y l l ql ql 1 y z h/2 h/2 q （1）、应力函数的确定 分析： 确定应力函数 的形式： 积分得： —— 任意的待定函数 —— 主要由弯矩引起； —— 主要由剪力引起； ——由 q 引起（挤压应力）。 又∵ q =常数，图示坐标系和几何对称，∴　　不随 x 变化。 推得： 由 确定： 代入相容方程： 确定应力函数： 关于 x 的二次方程，且要求 －l≤ x ≤ l 内方程均成立。须有x 的一、二次的系数、自由项同时为零。即： 对前两个方程积分： 此处略去了f1(y)中的常数项 对第三个方程得： 积分得： 应力函数为： （2）、 应力分量的确定 （3）、确定待定常数 由 q 对称、几何对称： 是 x 的偶函数； 是x 的奇函数。 由此得： 要使上式对任意的 y 成立，须有： 对称条件的应用 边界条件的应用 (a) 上下边界（主要边界）： 由此解得： 代入应力公式 (b) 左右边界（次要边界）： （由于对称，只考虑右边界即可。） —— 难以满足，需借助于圣维南原理。 静力等效条件： 轴力 N = 0； 弯矩 M = 0； 剪力 Q = －ql； 自动满足 截面上的应力分布： 三次抛物线 材力中几个参数： 截面宽：b=1 , 截面惯矩： 静矩： 弯矩： 剪力： 将其代入式 ( p ) ，有 4. 与材料力学结果比较 比较，得： （1） 第一项与材力结果相同