第8章矩阵特征值与特征向量的计算yjs.ppt

8.3 QR方法 QR算法的收敛性 定理.设n阶矩阵A的n个特征值满足|λ１||λ２|…|λn|0，其相应的n个线性无关特征向量为x1,x2,…,xn.记X＝(x1,x2,…,xn), Y= X－１.如果Y存在LU分解，那么，矩阵序列Ak基本收敛于上三角矩阵R. 这里，基本收敛的含义指｛Ak｝的对角元均收敛，且严格下三角部分的元素均收敛于零，但严格上三角部分的元素没有收敛的要求。 ２、用 Givens变换对上Hessenberg阵作QR分解 　　60年代出现的QR算法是目前计算中小型矩阵的全部特征值与特征向量的最有效方法。（实矩阵、非奇异。） 　　理论依据：任一非奇异实矩阵都可分解成一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积，而且当R的对角元符号取定时，分解是唯一的。 同理可得：Ak相似于A(k=2,3,…),故他们有相同特征根。 定理 设n阶矩阵A非奇异实对称矩阵，则矩阵序列｛Ak｝收敛于对角阵。 QR方法收敛性 QR方法收敛性 QR方法运算量很大，为了减少运算量，常在使用QR方法之前把矩阵A简化为拟上三角矩阵。或称之为海森伯格矩阵(次对角元以下的元素全为零)。 8.3.2 化一般矩阵为拟上三角矩阵 形状为 可以用镜面反射矩阵将A化为Hessenberg形,下面介绍。 定义8.2 为镜面反射矩阵，或Householder变换矩阵。 Houholder矩阵H=H(v)有如下性质： (1) (2) (3) 记S为以v为法向量的平面,则几何上x与y=Hx关于平面S对称。因为 上式表明向量x-y与v平行，注意到y与x的长度相等，于是x经变换后的象y=Hx 是x关于s对称的向量，如下图所示。 x v y x-y 据前面定义和性质， 有下面的定理。 定理8.4 得Hx=y。 证 由此可得 定理得证。 与平面旋转不同的是，镜面反射变换可成批的消去向量的非零元。 程序见P187 与平面旋转变换不同的是，镜面反变换可成批的消去向量的非零元 将任意矩阵A简化为海森伯格矩阵的步骤如下： 　　用Household方法对矩阵A作正交相似变换, 使A相似与上Hessenberg阵，算法如下： * 第8章 矩阵特征值和特征向量的计算 很多工程计算中，会遇到特征值和特征向量的计算，如：机械、结构或电磁振动中的固有值问题；物理学中的各种临界值等。这些特征值的计算往往意义重大。 求解线性方程组的迭代法，重要一点是判断迭代法的收敛性；判断方法之一就是看迭代矩阵的特征值的模是否都小于1。 PA(?)是?的高次的多项式，它的求根是很困难的。 设法通过数值方法是求它的根。 通常对某个特征值，可以用些针对性的方法来求其近似值。 若要求所有的特征值，则可以对A做一系列的相似变换， “收敛”到对角阵或上（下）三角阵， 从而求得所有特征值的近似。 n阶方阵A的特征值是特征方程 PA(?)=det(A-?E)=0 的根. A的特征向量是齐次线性方程组 (A-?E)x=0 的非零解. 定理1 ：A?R n?n，?1, …, ?n为A的特征值，则 （2）A的行列式值等于全体特征值之积，即 （1）A的迹数等于特征值之和，即 特征根和特征向量的基本结论。 定理2 设?为A?R n?n的特征值且Ax=?x，其中x不为0,则 （1）c?为cA的特征值（c为常数且不为0); （2）?-p为A-pI 的特征值，即(A-pI)x=(?-p)x; （3）?k为Ak的特征值； （4） 设A为非奇异阵，那么 且 为 特征值，即 定义 设矩阵A, B?R n?n，若有可逆阵P，使 则称A与B相似。 定理 若矩阵A, B?R n?n且相似，则 （1）A与B的特征值完全相同； （2）若x是B的特征向量，则Px便为A的特征向量。 8.1 幂法和反幂法 8.1.1 幂法 幂法是用来求矩阵A按模最大的特征值和相应的特征向量的方法.也称为主特征值和主特征向量。 设A是单构矩阵, 即A有n个线性无关的特征向量. A的n个特征值为 |?1? ??2? ??? ??n? 对应的特征向量为ξ1, ξ2,…,ξn 线性无关. 我们要求?1 和ξ1. 幂法的基本思想是取初始非零向量x0?Rn,作迭代 xk+1=Axk =A