1.3反函数、复合函数、初等函数.ppt

反函数 设函数 的定义 域为 值域为 一般地, 如果 在 上不仅单值, 调, 则把 看作自变量, 看 新函数 作因变量, 称为 的反函 反函数 的定义域为 值域为 相对反函数, 原来的函数 称为直接函数. 而且单 得到的 数. D W D W 习惯上仍将反函数 记为 直接函数与反函数的图形关于直线 对称. 在同一个坐标平面内, 直接函数 和反 函数 的图形关于直线 是对称的. 定理（反函数存在定理）： 单调函数 f 必存在单调 的反函数 ，且此反函数与 f 具有相同的单调性. 牢记反函数的下列关系式 例如 ：sinx ~ arcsinx； cosx ~ arccosx； tanx ~ arctanx； cotx ~ arccotx； 例1 求函数 的反函数. 解 令 则 故 即 解得 改变变量的记号, 即得到所求反函数: 例2 已知 (符号函数) 求 的反函数. 解 由题设, 易得 解 解 所以反函数为 . 复合函数 引例 设 定义 设函数 的定义域为 而函数 的值域为 若 则称函数 为 的复合函数. 注: 其中 自变量, 中间变量, 因变量 (1) 函数 与函数 构成的复合函数 即 通常记为 (2) 不是任何两个函数都可以复合成一个复合函 复合函数 (2) 不是任何两个函数都可以复合成一个复合函 例如 因前者定义域为 而后者 故此两函数不能复 合成复合函数. 数的. (3) 复合函数可以由两个以上的函数经过复合构 例如 成的. 例3 设 求 解 例4 将下列函数分解成基本初等函数的复合: 解 是由 四个函数 是由 三个函数 复合而成; 复合而成; 是由 例4 将下列函数分解成基本初等函数的复合: 解 是由 三个函数 复合而成; 是由 例4 将下列函数分解成基本初等函数的复合: 解 是由 三个函数 复合而成; 是由 六个函数复合在而成. 分段函数的复合运算 例5 设 求 解 当 时, 或 或 解 当 时, 或 或 解 当 时, 或 或 当 时, 或 或 所以 . 以下函数称为基本初等函数 1.幂函数： 2.指数函数： 3.对数函数： 4.三角函数： 5.反三角函数： （ 是常数） （ 是常数 , ） （ 是常数， ） 四、初等函数 由常数及基本初等函数经过有限次的复合步骤所构成并且可以用一个式子表示的函数，叫作初等函数. 例如 基本初等函数的几何图形如教材P21页 非初等函数的例子: 符号函数 当 x 0 当 x = 0 当 x 0 取整函数 当 双曲正弦与双曲余弦函数 若 则称 f (x) 为双曲余弦. 若 则称 f (x) 为双曲正弦. 记 记 又如 而双曲余 双曲正弦、双曲 可以验证： 正切都是奇函数， 称为双曲正切. 记 弦是偶函数. 它们满足下列公式： 求双曲正弦函数 的反函数. 令 则双曲正弦函数为 由此得 解得 即 故得 所以，双曲正弦的反函数为 且 课堂练习题 证明 证: 令 则 由 消去 得 时 其中 a, b, c 为常数, 且 为奇函数 . 为奇函数 . 1. 设 2. 求 的反函数及其定义域. 解: 当 时, 则 当 时, 则 当 时, 则 反函数 定义域为 * * * * * * * * * *