大工12秋《高等数学》 上 辅导资料三.doc

高等数学（上）辅导资料三 主 题：第一章 函数与极限1—2节 学习时间：2012年10月15日－10月21日 内 容： 这周我们将学习第一章函数与极限1—2节。函数是高等数学研究的对象，我们要在中学已有函数知识的基础上，加深对函数概念及其各项性质等方面的理解和掌握。而极限理论是函数的变化趋势问题，也是本章的重点。本章的学习要求及需要掌握的重点内容如下： 1、深刻理解函数的定义，定义中的两要素：定义域和对应规律。 2、深刻理解函数的特性：奇偶性、单调性、有界性和周期性，会判断简单函数的相应性质。 3、深刻理解反函数及复合函数的概念 4、了解数列极限的定义及性质 基本概念：知识点： 第一节、映射与函数 一、集合 1.集合：集合是具有某种特定性质的事物所组成的全体。通常用大写字母A、B、C……表示，组成集合的各个事物称为该集合的元素。若事物a是集合A的一个元素，就记（读a属于A）；若事物a不是集合A的一个元素，就记aA或aA（读a不属于A）。 2.集合的表示法：列举法和描述法 3.邻域：称为点的邻域，为对称中心，为半径。 称为点的去心邻域。 二、映射 设X,Y是两个非空集合，如果存在一个法则f,使得对X中的每个元素x，按法则f,在Y中有唯一确定的元素y与之对应，则称f为从X到Y的映射。记作。元素y称为元素x在映射f下的像,记作；元素x称为元素y在映射f下的原像；集合X称为映射f的定义域；Y的子集称为的值域。 三、函数 1.定义：设有两个变量和，当变量在实数某范围任取一值时，变量按确定的规则有确定的值与之对应，那么称是的函数，记。叫自变量，叫因变量，的取值范围称为函数的定义域，记。对，称为函数在点的函数值，所有函数值的集合称为值域，记。 2.函数的几种特性 (1)单调性：设在内有定义，如果对于且，有 ①，就称在内单调增加； ②，就称在内单调减少。 范例解析：判断函数的单调性 解：单调增加，由的图像可知。 (2)有界性：设在内有定义，如果存在数正数M，使对于一切，有成立，就称在有界，否则称为无界。若，就称在内有上(下)界。 范例解析：判断的有界性 解：有界。因为当时，。 (3)奇偶性：设函数的定义域关于原点对称， ①若对定义域中任何，有，称为偶函数 ②若对定义域中任何，有，称为奇函数 偶函数的图形关于y轴对称，奇函数的图形关于原点对称。 范例解析：判断函数的奇偶性 解：因为， ，且 所以既不是奇函数也不是偶函数。 (4)周期性：对函数，如果存在正数T，使对于定义域中的有，称为周期函数，使此式成立的最小正数T，称为最小正周期。 范例解析：判断函数是否是周期函数，若是求出其周期。 解：是周期函数，周期 3.反函数与复合函数 (1)反函数的概念及性质 给定函数，如果变量y在值域内每取定一值时，在定义域内有一值与之对应，则得到一个定义域为的值域，y为自变量，为因变量的函数，称其为的反函数，记。 习惯上往往用表示自变量，表示因变量，因此将中的与对换一下，的反函数就变成，事实上函数与是表示同一函数的。 图形特点：的图形与其反函数的图形关于直线对称。 范例解析：求函数的反函数及反函数的定义域。 解：由得，解得， 由得，解得，即。 所以反函数及其定义域为。 (2)复合函数 设，，而是的函数，，如果，则称为由和复合而成的复合函数，为中间变量。 范例解析：求给定函数形成的复合函数，并求复合函数的定义域。 解：，定义域为。 (3)函数的运算 的定义域依次为，则可以定义两个函数的下列运算： 和（差） 积 商 4.初等函数 (1)基本初等函数 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数 (2)初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合后所得到的能用一个解析式子表示的函数，称为初等函数。 第二节、数列的极限 一、数列极限的定义 1.数列的概念：自变量取正整数的函数称为数列。数列中的每个数叫数列的项，称为通项（或一般项），数列记为{}。 2.数列的极限：，则称数列的极限为，或称数列当时收敛于,记成或。 此时，称为收敛数列，如果不收敛（没有极限），称是发散的。 二、收敛数列的性质 定理1（极限的唯一性）：如果数列收敛，那么它的极限是唯一 定理2（收敛数列的有界性）：如果数列收敛，那么数列一定有界 定理3（收敛数列的保号性）：如果且a0(a0)那么存在正整数N0，当nN时， 定理4（收敛数列与子列间关系）：如果数列收敛于a那么它的任一子数列也收敛,且收敛于a。 大连理工大学网络教育学院 第1页 共5页 3 2 1 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 O y x -1 -2 -3 -4 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 O y x 4 3