着重考察数学思想方法.doc

着重考查数学思想方法 浙江省天台县平桥镇中学 丁祖茂 1999年台州市中考试题突出了考查学生运用数学思想方法解决数学问题的命题思路．现举例分析如下． 1．方程思想 例1 如图1，E是正方形ABCD的边CD的中点，AE与BC的延长线相交于点F，AE的中垂线分别交AE、BC于点H、G，已知FG＝15，则正方形ABCD的面积等于____． 本题在Rt△HGF中应用勾股定理，列出方程，问题很快得到解决． 解 设正方形边长为x，则由△ADE≌△FCE，得 ∴ x2=64，即正方形ABCD的面积等于64． 2、函数思想 本题考查学生能否借助函数关系来思考并解决问题． 例2 如图2，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4厘米，BC=3厘米．动点P，Q同时从A，B两点开始，各自以1厘米／秒和2厘米／秒的速度沿AC，BA边运动，其中一动点到达终点后，另一动点立即停止运动，设运动时间为x秒时，△APQ的面积为y平方厘米． (1)求y关于x的函数表达式及自变量x的取值范围． (2)当x取何值时，y取得最大值，并求出其最大值． 解(1)在Rt△ACB中，∵∠C=90°，AC=4，BC＝3，∴ ∵AP＝x，AQ＝AB-BQ＝5-2x． ∵P、Q从始点到达终点所需时间分别为4秒和2.5秒， ∴ 自变量x的取值范围为0≤x≤2.5． 3．分类思想 本题考查了学生能否把问题按参加夏令营的学生人数这一标准，分为三种情况逐一讨论解决． 例3 某校师生要去外地参加夏令营活动，车站提出两种车票价格的优惠方案供学校选择，第一种方案是教师按原价付款，学生按原价78％付款；第二种方案是师生都按原价80％付款，该校有5名教师参加这项活动，试根据参加夏令营的学生人数，选择购票付款最佳的方案． 解 设该校有学生x人参加，车票原价为每人a元．第一种方案需付款y1元，第二种方案需付款y2元．根据题意，得 y1=5a+0.78ax，y2=a(5+x)0.80． 若y1＞y2，即5a+0.78ax＞a(5+x)0.80， x＜50(人)； 若y1＜y2，即5a+0.78ax＜a(5+x)0.80， x＞50(人)； 若y1=y2，即5a+0.78ax＝ a(5+x)0.80， x=50(人)． 答：学生参加的人数少于50人时，选择第二种方案付款少；学生参加的人数多于50人时，选择第一种方案付款少；学生参加的人数等于50人时，两种方案付款相同． 4．转化思想 本题考查学生能否通过转化问题的某些条件或结论的形式，使已知和未知之间的关系更加清晰、直接． 例4 如图3，已知AB为⊙O的直径，C为AB延长线上的点，以OC为直径的圆交⊙O于D，连结AD、BD、CD． (1)求证CD与⊙O相切于点D； (2)若AB=BC=2，求tg∠A的值． (1)证明 连结OD． ∵OC是圆的直径，∴∠ODC=90°． ∵OD为⊙O的半径，CD⊥OD， ∴CD与⊙O相切于点D． (2)解∵ CD是⊙O的切线，CA是⊙O的割线，AB=BC=2， ∵BD是⊙O的弦，∴∠BDC=∠A． ∵∠BCD=∠DCA，∴△BCD∽△DCA． ∵ AB是⊙O的直径，∴∠ADB=Rt∠． 5．数形结合思想 本题考查学生能否运用数形结合的思想方法，综合运用代数、几何知识解题． 例5 已知抛物线y=-(x-3)(x-m+1)(m＜1)，与x轴交于A，B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C． (1)写出A，B，C各点的坐标(可用含m的式子表示)； (2)若△ABC的面积为15，求抛物线的函数解析式； (3)过点 E(0，-2)作 ED∥AC，在第一象限交抛物线于点D，求ED的函数表达式，问四边形ABDC的形状及其面积，并证明你的结论． 解(1)∵ m＜1， ∴ A(m-1，0)，B(3，0)，C(0，3-3m)． (2)∵m＜1，AB=3-(m-1)=4-m，OC＝3-3m，又S△ABC=15． m=-1，m=6(舍去)． 把m＝-1代入y=-(x－3)(x-m+1)， 得y=-(x-3)(x+2)=-x2+x+6． (3)由A(-2，0)，C(0，6)可得直线AC的函数表达式y＝3x+6． 如图 4，DE∥AC，又∵ ED过 E(0，-2)， 可得 ED的函数表达式为 y=3x-2． 过点D作DE∥x轴交y轴于F，则F(0，4)． 在Rt△AOC与Rt△DFE中， ∴ Rt△AOC≌Rt△DFE． 则AC=DE．又AC∥DE，所以四边形ABCD为平行四边形．