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第44届IMO试题
第44届IMO试题
1.?设A是集合S={1,?2,?3,?...,?1000000}的一个101元子集，求证：?存在S中的100个元素T1?,T2?,...,T100?使得集合 Aj={X+Tj?|?X?属于?A}?（j=1,2,...,100） 是两两不交的。? 2.?求所有的正整数对(a,b)，使得?a2/(2ab2-b3+1)也为整数。? 3.?一凸六边形，任意一组对边中点的连线是这组对边长度之和的√3/2?倍，求证这个六边行的每个内角都是120o。? 4.?圆内接四边形ABCD，从D向分别边BC,CA,AB引垂线，垂足分别为P，Q，R。求证： PQ=QR当且仅当∠ABC、∠ADC的角平分线及AC三线共点。? 5.?设n是一个正整数，x1,x2,...,xn是实数并且x1?≤?x2?≤?...?≤?xn,求证： a.?(∑i,j?|xi?-?xj|?)2?≤?(2/3)?(n2?-?1)?∑i,j?(xi?-?xj)2。? b.上式等号成立当且仅当x1,x2,...,xn是等差数列。? ? 6.?设p是一个素数，求证存在一个素数q使得对每个整数n，np-p不能被q整除。?
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