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高中数列求和总结OK
高中数列求和总结
一、总论:数列求和7种方法:
利用等差、等比数列求和公式
错位相减法求和
裂项相消法求和
倒序相加法求和
分组相加法求和
分段求和法(合并法求和)
利用数列通项法求和
二、等差数列求和的方法是倒序相加法
等比数列的求和方法是错位相减法
三、倒序相加法、错位相减法是数列求和的两个基本方法。
一、利用常用求和公式求和
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.
等差数列求和公式:
2、等比数列求和公式:
4、
[例1] 已知,求的前n项和.
[例2] 设Sn=1+2+3+…+n,n∈N*,求的最大值.
二、错位相减法求和
这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列{an· bn}的前n项和,其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.
[例3] 求和:
[例4] 求数列前n项的和.
五、裂项相消法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的. 通项分解(裂项)如:
(1) (2)
(3) (4)
(5)
(6)
(7)
(8)
[例5] 求数列的前n项和.
[例6] 在数列{an}中,,又,求数列{bn}的前n项的和.
三、倒序相加法求和
这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序),再把它与原数列相加,就可以得到n个.
[例7] 求的值
[例8]已知函数
(1)证明:;
(2)求的值.
四、分组求和法求和
有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可.
[例9] 求数列的前n项和:,......
六、分段求和法求和(合并法求和)
针对一些特殊的数列,将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质,因此,在求数列的和时,可将这些项放在一起先求和,然后再求Sn.
[例10] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.
[例11] 在各项均为正数的等比数列中,若 的值.
1、等比数列的各项均为正数,且
(1)求数列的通项公式.
(2)设 求数列的前项和.
2、已知等差数列{an}满足a2=0,a6+a8=-10
(I)求数列{an}的通项公式;
(II)求数列的前n项和.
3、已知数列{an}满足a1=1,a2=3,an+2=3an+1-2an(n∈N+)
(1)证明:数列{an+1-an }是等比数列;
(2)求数列{an}的通项公式
4、在数列中,,,.
()证明数列是等比数列;
()数列的前项和的最大值。
5、已知正项等差数列的前项和为,若,且成等比数列.
(Ⅰ)求的通项公式;
(Ⅱ)记的前项和为,求.
6、数列{an}的前n项和为Sn,且a1=a,Sn+1=2Sn+n+1,n∈N*
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)当a=1时,若设数列{bn}的前n项和Tn,n∈N*,证明Tn<2。
7、已知等差数列满足:,.的前n项和为.
(Ⅰ)求 及;(Ⅱ)令(),求数列的前n项和.
8、等比数列{}的前n项和为, 已知对任意的 ,点,均在函数且均为常数)的图像上.
(1)求r的值;
(11)当b=2时,记 求数列的前项和
10
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