第08章参数估计.ppt

例 设总体X 的密度函数为 需要指出： 极大似然估计具有不变性 ： 三、估计量的评价标准 为方便鉴别有效性，引进定理： 六、非正态总体参数的区间估计 1. 用精确分布求解; 例 设总体X~B(1,p) , X1,…,Xn 为 X 的样本，当 n 较大时，求参数 p 的置信度为1-α的置信区间。 解 例 电视节目收视率调查中共调查了500人，其中150收看了该节目。试对该节目收视率p作置信度为0.95的置信区间。 若由样本X1,X2,…Xn确定的统计量 则称区间 是 的置信度为 的单侧置信区间， 定义 设 是 一个待估参数，给定 对于任意 ,满足 称 为 的置信度为 的单侧置信下限. 类似可定义单侧置信上限 的置信度为 的单侧置信上限或下限， 对应于置信度为 双侧置信上限或下限 例 从一批灯泡中抽取5只，测得寿命 150,105,125, 250,280小时，假设寿命服从正态分布，求置信度为0.95的单侧置信下限. 解 故所求单侧置信下限为 2. 在大样本下用正态分布来作近似 一般方法： 要使似然函数达极大，θ应取极小值 由于 因此θ的极小值为x(n) 由此可知极大似然估计为 下面判断极大似然估计是否无偏。 即 因为总体 X 的密度函数和分布函数分别为 的密度函数为 由此可知极大似然估计不是无偏估计。 2.有效性 D( ) ≤D( ) 则称 较 有效 . 都是参数 的无偏估计量，若对任意 ， 设 和 且至少对于某个 ，上式中的不等号成立， 需要注意的是：只在无偏估计量中才能比较有效. 3. 一致性(也称为相合性) 任意 ，当 时 依概率收敛于 , 则称 为 的一致估计量. 设 是参数 的估计量，若对于 为 的一致估计量 换言之 对于任意 , 有 证明 由卡方分布性质知 置信区间定义 置信区间的求法 单、双侧置信区间 第二节 区间估计 一、 置信区间定义 和 分别称为置信下限和置信上限. 则称区间 是 的置信水平(置信度)为 的置信区间. 满足 设 是 一个未知参数，给定 X1,X2,…Xn确定的两个统计量 若由样本 可靠度与精度是一对矛盾，一般是在保证可 靠度的条件下尽可能提高精度. 1. 要求 以很大的可能包含未知参数 ，换言之 概率 要尽可能大,即要求估计尽量可靠. 尽可能短. 2. 估计的精度要尽可能的高. 即要求区间长度 区间长度越长，可靠度越高，但精度越低. 关于 有两个要求: 1.构造一个仅包含待估未知参数的样本的函数U，并且U的分布是一个和未知参数无关的已知分布，称这样的函数U为枢轴变量(注意:U 不是统计量); 二、置信区间的一般求法 并使U1 ,U2满足 2.对给定置信度 ,按照 求出 U1 ,U2 可以证明，取这种分位点得到的置信区间长度最短，即精度最高. 一般地, U1,U2 分别取U分布的上、下侧 分位点 3.将 换算成 这里 即为置信度为 的置信区间. 寻找一个待估参数和 统计量的函数 ，要求 其分布为已知. 有了分布就可以求出 U 取值于任意区间的概率. 设总体 , X1,…Xn是X 的一组样本， 三、单正态总体未知参数关于置信度为 的置信区间 (一)单正态总体数学期望 的置信区间 选取 的无偏估计 ， 寻找未知参数的一个良好估计. 对给定的置信度 查正态分布表得 使 为什么 这样取？ 即所求 关于置信度为 的置信区间为 考虑在上述U中用S代替s ，构造 对给定的置信度 查t 分布表得 使 即所求 关于置信度为 的置信区间为 解 例17 从一批灯泡中随机抽取 5 只作寿命试验，测得寿命X(单位:小时)如下: 1050,1100,1120, 1250,1280,设灯泡寿命服从正态分布. 求灯泡寿命均值 的置信度为0.95的置信区间： (1)已知 ；(2) 未知 设总体