浙江省2004高等数学 微积分 竞赛试题 解答 .doc

2004年浙江省大学生高等数学（微积分）竞赛试题（工科类） 计算题（每小题15分，满分60分） 计算：。 解: 原式 其中 原式 . ①在课堂上作为一个典型的例子; ② 计算：。 解: 原式 . 其他想法: 原式 后者 , 看来做不下去了!!! 求函数在 上的最大、小值。 解: ①在圆内(开集) , , 解得驻点, 但不在圆域内. ②在圆周上, 求的极值, 是条件极值问题. 解得: 驻点 , 故最大值为, 最小值为. 计算：，其中 。 这题不能用对称、奇偶性等性质来做！ 二．（本题满分20分） 设，求. 解: , 则, 则两边对求阶导数,由莱布尼茨公式得: , 令,得: ,而, 则 . 三．（本题满分20分） 设椭圆在点的切线交轴于点，设为从到的直线段，试计算 。 解: 方程两边对求导得: , 则, 直线段的方程为: 令, , 则, . 四．（本题满分20分） 设函数连续，，且，试证明：，。 证明: ① 由于, 故, 无论怎么分、怎么取， 存在且相等， 即， 由于连续，故，；（理由说的不够充分） ②假设存在，使得，不妨设， 则， 由于函数连续，故在内存在最大、最小值分别为，显然， 而与矛盾， 故假设错误，即，。 五．（本题满分15分） 判别级数的敛散性。 解：斯特林公式： 极限形式：. 故收敛. 判别的敛散性: 证明: (1) 证明, 即 当, 显然成立; 假设时也成立,即; 当时, 而是单调递增数列, 而且有界(证明两个重要极限里第2个). , 而, 由夹逼定理得: . ,而收敛, 由比较判别法得: 也收敛. 六．（本题满分15分） 设函数在上连续，证明： ，。 证明: . 柯西不等式: ①有限项情况:, (乘积和的平方小于等于平方和的乘积) ②可推广到可数情况: ; ③均值的形式: ; ④积分的形式: 9