01极限连续.doc

第一章 极限连续 1、设在上有定义，且存在常数，使，有，则为周期函数。 证明: ，有，故 ， 故是以为周期的函数。 2、若，则。 证明:假设，则 ，将(2)、(3)式相加得，这与(1)式矛盾， 故。 3、求满足的正整数解的个数。 解: 由于为整数，且得，即，而，故 时，，即，有组； 时，，即，有组；…….， 时，，即，有组； 故满足的正整数解共有组。 4、简化的表达式，并画出其图像。 解: 由于，且，故 ，图像如下 5、设，求的值。 解: 令，则，且 ，故。 6、设为三次多项式，而，且，求。 解: 由题设知，存在，使，且 ，解之得，故 ，从而。 7、设为自然数，求。 解: 若(有理数)，则存在互质的整数，其中，且，而时，为偶整数，故，从而，有，故，从而 ； 若，则，有，故，从而；由此可见。 8、设，而，有，求。 解: 由题设知，有，且 ，故 ， 从而。 9、设为常数，而数列满足，且收敛。 (1)、若，则一定收敛； (2)、若，问是否收敛? 解: 不妨设，则 (1)、当时，，存在自然数，使时，有 ，故 ，从而 ， ，…….， ， 令，则由于，故，由的任意性，得； (2)、当时，未必收敛，如对发散，但却收敛。 10、设数列满足，则数列收敛。 证明: 由题设知，恒有，且 ， 即单调递增有上界，故收敛。 11、设数列满足，求。 解: 令，则，故 ， ， ，即。 12、设，则收敛，并求。 解: 若，则，且，故 ，即，故 ，且，故， 从而，故。 13、设，则收敛，并求。 解: 由于，假设，则 ，且，故，即 单调递增且有上界，故收敛，且满足，即 ，故。 14、设，求。 解: 若，则； 若，则； 若，则， 而，故。 注: 若，则。 15、设，则收敛，并求。 证明: 由于，故，假设，则 ，故有界； 又，假设，则 ，故单调递增， 故单调递增且有界，从而存在，且满足 ，即，故。 16、如图所示，，且点在直线上运动时，与之间的夹角为，求极限 。 解: 设，则，由余弦定理知 ，即 ，解之得 ，故 。 17、设数列满足，则收敛，并求。 证明: 由知，，且 ，故，从而； 18、设在上连续，且，则，至少存在一个，使之满足。 证明: 由题设知，函数在上连续，且 ，， 故由介值定理知，存在，使，即。 19、设为上的连续函数，则。 证明: 若，有，则 ， 令，则； 若，则，有。 20、下列命题中正确的给出证明，错误的给出反例: (1)、若在上有定义，且在处连续，则存在，使在内连续； (2)、若存在，使在内连续，且(有限)，则存在； (3)、若在上连续，且在处取到极小值，则存在，使在 上单调下降，而在内单调上升； 解：(1)错，如仅在处连续； (2)对，事实上； (3)错，如处处连续，且在处取到极小值，但在的左、右两侧的任意邻域内都不单调。 21、设不超过的最大整数，求的间断点，并说明其类型。 解: 由于时，，故，故，而时，，故，从而是其唯一的间断点(第一类的可去间断点)。 22、设在上连续，且满足，则常数。 证明: 由题设知，有，令，得 ，故常数。为常数，而，有，则收敛，并求。 解: 由题设知，，有，假设，则满足 ，即，故 ， 下面证明是收敛的。由于及，故，有 ， ， ， 由上面三式知 若，则，有， 若，则，有， 从而由单调有界原理知均存在，且满足 ，故 ，即， 从而收敛，且。 24、设，求。 解: ， 故。 25、设，则收敛。 证明: 令，则，存在，使 ， 从而，有，故 ， ， 故，有，即单调递减且有下界，从而收敛，即存在，使 ，通过数值计算知是无理数，即 ，其中。 26、设在上连续，且，则存在，使。 证明: 假设，有，则在上连续且同号，不妨设 ，有，则，即 ，矛盾，故存在，使。 27、求极限 (1)、； 解: 令，则 ， 且，故 。 (2)、； 解: 令，则，而，有 ，故 ， 其中为常数，而，从而 。\ 28、三人投宿，每晚30元，三人每人掏了10元凑够30元交给了老板，后来老板说今天优惠只要25元就够了，便拿出5元令服务生退还给他们，但服务生偷拿了2元，将剩下的3元分给那三人，每人分到1元，这样他们每人只花了9元，则元服务生偷拿的2元元，还有1元钱到哪里去了? 解: 没有少一分钱，老板手里有25元，服务生拿了2元，投宿者每人有1元(共3元)，合起来总共是 元，一分不少! 29、、设，求。 解: ， ，故